producto interno de dos vectores

Question

Sé que el título es vago, al menos para lo que yo estoy pidiendo. De todos modos, este es un ejercicio que he estado luchando durante los últimos dos horas, parece relativamente simple a primera vista, y he probado un método que ha demostrado ser errónea. Voy a ir a través de lo que yo he intentado, pero antes de hacerlo me referiré brevemente a proporcionar una visión general del ejercicio:

Deje $ e_1, e_2, e_3$ ser una base en el espacio $\mathbb R$

$ u = e_1 + 2e_2 +3e_3 $ y
$ v = 2e_1 - 3e_2 + 4e_3 $

$ |e_1| = 3, |e_2| = 4, |e_3| = 2$
$ e_1 \cdot e_2 = -6 $
$ e_1 \cdot e_3 = 4 $
$ e_2 \cdot e_3 = 4$

Calcular el $ u \cdot v $

así que esto es lo que he tratado de hacer:
De $u \cdot v = |u| |v| \cos \theta$
He intentado conectar los datos que nos han dado anteriormente en la forumla:

$ \frac{u \cdot v}{|u||v|} = \cos\theta $

así, un ejemplo sería: $ \frac{e_1 \cdot e_2}{|e_1| |e_2|} = \cos\theta $
$ \frac{ -6}{3 \times 4} = \frac{-1}{2}$
por lo $\cos\theta = -0.5$
por supuesto, los otros dos me dan
$\cos\theta = 0.5$

Yo, individualmente, obtener la longitud de los vectores u y el vector v mediante el uso de pitágoras:
$ |u| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^3 } = \sqrt{14} $
En una primera vista, esto no parece correcto... la aplicación de la misma "lógica" a
$ |v| = \ldots = \sqrt{29} $

Yo, a continuación, conecte los datos en la mencionada fórmula ($u \cdot v = |u| |v| \cos\theta$ )

y básicamente se galimatías, no tiene ningún sentido.

Estoy haciendo algo completamente equivocado, que yo sepa, simplemente no estoy seguro de cómo utilizar los datos para obtener una respuesta que es $ = 0 $

Me gustaría sinceramente el amor a obtener una respuesta como he sido en este ejercicio durante más de dos horas fue en vano.

EDITAR:

Muchas gracias a todos! Tiene sentido ahora que lo miro, y yo de alguna manera trataron complicando las cosas (que en realidad es una lucha real de minas). Sin embargo, Gracias a su ayuda, he conseguido resolverlo.

Answer 1

Sugerencia: $\;e_1 \cdot v = e_1 \cdot (2e_1 - 3e_2 + 4e_3) = 2 |e_1|^2- 3 e_1 \cdot e_2 + 4 e_1 \cdot e_3 = 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot (-6)+4 \cdot 4\,$. Ahora haga lo mismo con $\,u \cdot v\,$ $\,e_1 \cdot v\,$.

Answer 2

SUGERENCIA

El producto interno en $\mathbb{R}^n$ tiene estas tres propiedades:

$$u \bullet v=v \bullet u$$

$$(v_1+v_2) \bullet u=u \bullet (v_1+v_2)=(u \bullet v_1)+(u \bullet v_2)$$

$$a(u \bullet v)=(au) \bullet v=u \bullet (av),\forall a \in \mathbb{R}$$

Usarlos y obtendrá el resultado.

Answer 3

Sugerencia:

El producto interno es una forma bilineal, es decir, su lineal en cada variable y toma valores en el campo base $\mathbf R$.