$X$ es un s.t. de espacio topológico que limita cada continuo $f:X\rightarrow \mathbb{R}$. ¿X es compacto?

Question

Un resultado topológico básico bien conocido es que si $X$ es un espacio topológico compacto, entonces cada función continua $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ está delimitado.
¿Que plantea la cuestión natural - lo contrario también es verdadero? O tal vez existe un espacio no compacto que conserva esa propiedad, "limita cada función real continua"?

Answer 1

Posiblemente sorprendentemente, el recíproco no es cierto. (Sin embargo, esto es cierto si nos adicionalmente asumir que $X$ es la métrica.)

Para ver eso, vamos a $\mathbb{R_{coco}}$ el conjunto $\mathbb{R}$ con el cocountable topología. (coco representa cocountable, por supuesto!). No es compacto: por ejemplo, supongamos $A=\mathbb{R_{coco}}-\mathbb{N}$. A continuación, $$A, A\cup\left \{ 1 \right \}, A\cup\left \{ 1,2 \right \}, ...$$ es una cubierta abierta sin finito subcover.

Sin embargo, vamos a demostrar que toda función continua $f:\mathbb{R_{coco}}\rightarrow \mathbb{R}$ es constante (y, en particular, acotada).
Deje $x_0\in \mathbb{R_{coco}}$ ser arbitraria. Deje $U\subset \mathbb{R}$ ser arbitraria abrir barrio de $f(x_0)$ en $\mathbb{R}$. $f^{-1}(U)$ no está vacío, sino que está abierto en la cocountable topología y, por tanto, cocountable. Como resultado, si $V$ es un conjunto abierto (en $\mathbb{R}$) que disjunta de a $U$, entonces es el inverso de la imagen es en la mayoría de los contables, pero todavía abierto en la topología de coco, por lo tanto vacía. Por lo tanto,$Im (f)\subseteq U$. Pero esto es cierto para cada $U$ que un barrio de $f(x_0)$. Por lo tanto, $Im (f)=\left \{ f(x_0) \right \}$ $f$ es constante.

Answer 2

El OP no importa, pero...

Aquí es una clase de espacios que se utilizan con frecuencia en la clase, simplemente porque a menudo sirven como rápido contraejemplos a preguntas como esta. También, son increíblemente fáciles de entender para los principiantes.

Deje $X$ ser cualquier conjunto y solucionar de una vez por todas un punto de $a \in X$. Poner una topología en $X$ declarando $U \subseteq X$ a ser abierto si y sólo si $a \in U$ (o $U = \varnothing$). Esto es claramente una topología en $X$; llame el espacio resultante $X_a$.

Para esta pregunta, es un simple pero gran ejercicio de definiciones para demostrar que cualquier función continua $f: X_a \to Y$ es constante si $Y$ es de Hausdorff. Por otra parte, $X_a$ es compacto si y sólo si $|X|$ es finito. Así, al $Y = \mathbb{R}$, este calabazas toda esperanza para su recíproco para ser verdad, como constante es un muy grave forma de ser acotada.

Answer 3

Un espacio de $X$ de tal manera que cada función $fX \to \mathbb{R}$ está delimitado se llama "pseudocompact", y espacios compactos son siempre pseudocompact. La inversa no necesita tener, incluso para los agradables espacios. El más clásico ejemplo es $\omega_1$, la primera de innumerables ordinal en el orden de la topología.

Este espacio es pseudocompact, localmente compacto, hereditariamente normal y no compacto.

También podemos encontrar topológicos, grupos que pueden servir de ejemplos, como

$\{f: \mathbb{R} \to \{0,1\}: |f^{-1}[\{1\}]| \le \aleph_0\}$ en el producto de la topología heredada de $\{0,1\}^{\mathbb{R}}$, con pointwise además de mod $2$ de la operación.