Entender por qué el vacío establecido está cerrado

Question

Definición. Un conjunto se llama cerrado si su complemento en $\mathbb{R}$ está abierto.

En mis notas de la Conferencia dice: $\emptyset$ está cerrada porque $\emptyset = \emptyset \setminus \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ está abierto. ¿Creo que hay un error tipográfico porque $\emptyset \neq \emptyset \setminus \mathbb{R}$, a la derecha? Debe ser $\emptyset = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$. ¿Puede usted por favor comprobarlo?

Answer 1

Es correcto y es un error tipográfico.

Que es:

• La utilidad de la declaración es " a$\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\emptyset$": desde $\mathbb{R}$ es abierto, esto significa que el complemento de $\emptyset$ ( $\mathbb{R}$ ) es abierto por lo $\emptyset$ es cerrado. Esto es (supuestamente) lo que el autor quiso escribir.

• Sin embargo, es cierto que $\emptyset=\emptyset\setminus\mathbb{R}$; simplemente no es útil aquí. Recuerde que "$A\setminus B$" es el conjunto de todas las cosas en $A$ que no están en $B$. Bueno, no hay nada en $\emptyset$ que no están en $\mathbb{R}$ (de hecho, no hay nada en $\emptyset$!), por lo $\emptyset\setminus\mathbb{R}=\emptyset$. (Pongo esto porque usted pregunta si $\emptyset\setminus\mathbb{R}\not=\emptyset$, al final de su pregunta.)

Answer 2

El complemento de $\emptyset$ $\mathbb{R}$ es $\mathbb{R}\setminus \emptyset$ que es igual a $\mathbb{R}$. Y $\emptyset$ es cerrado en $\mathbb{R}$ porque abierta en $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.

Además, a pesar de que $\emptyset=\emptyset\setminus \mathbb{R}$, que no vamos a nosotros concluir que está cerrado que $\emptyset$ $\mathbb{R}$.

Answer 3

Sí, es probablemente un error tipográfico. Debe ser $\emptyset=\mathbb{R}\setminus\mathbb R$.