¿Qué significa el infinito en el análisis complejo?

Question

Siempre he pensado que el infinito no es realmente un número. Es sólo una idea, un nombre que damos a algo que crece sin límites.

Así, en el análisis real, cuando los términos de una secuencia o las sumas parciales de una secuencia (serie) siguen aumentando sin un límite superior, decimos que la secuencia o la serie llega al infinito. El infinito negativo es la misma idea, pero con un signo menos, es decir, los términos negativos, que siguen disminuyendo sin ningún límite inferior van al $-\infty$ . Y este objeto "infinito" es más grande que cualquier número que puedas pensar (porque no es un número en sí mismo). Todo bien.

Pero a esta idea de más grande que todo lo demás, va unida la noción de grande o pequeño, es decir, de orden. Sin embargo, para los números complejos no existe un orden total. No podemos comparar dos números complejos dados y decir cuál es "más grande". ¿Cómo se concibe entonces el infinito en el análisis complejo? No puede ser un elemento más grande que todos los demás elementos, porque "más grande" no tiene ningún sentido.

Y como sólo hay un infinito en el plano complejo, a diferencia de $+\infty$ y $-\infty$ en $\mathbb{R}$ ¿Significa eso que el infinito complejo es más un escalar (con sólo un módulo y sin dirección o argumento) que un vector (como podemos asociar un vector a todos los demás números complejos)?

Sé que parezco muy confuso. Lo estoy. Por favor, arroje algo de luz. Gracias.

Answer 1

$\infty$ es el punto de compactación del plano complejo. En este contexto, $\infty$ es muy real: es el polo norte de la esfera de Riemann. $0$ es el polo sur.

De hecho, $0$ y $\infty$ están estrechamente relacionados:

• ambos sólo tienen un módulo y ninguna dirección o argumento.

• la función $z \mapsto \dfrac 1z$ los intercambia.

• ellos $0$ y $\infty$ son elementos absorbentes para la multiplicación: $0 \cdot z = 0$ , $\infty \cdot z = \infty$ , para $z \ne 0, \infty$ .

Answer 2

En el plano complejo, es útil pensar primero en cómo cambiamos el significado del término "acotado". En los reales, "limitado por $M$ " significa " $|x| < M$ ". En los complejos, "limitados por $M$ " parece que significa lo mismo, " $|z| < M$ ", pero $|\cdot|$ ha cambiado de magnitud real a magnitud compleja.

Podemos decir que una secuencia en los reales es ilimitada si para cualquier límite $M$ la secuencia se compone finalmente de forma permanente de términos de mayor magnitud que $M$ . (Podríamos, pero no deberíamos. Deberíamos decir que "sin límites" significa que para cualquier $M$ los valores absolutos de la secuencia superan al menos una vez $M$ para que ningún límite sea lo suficientemente grande como para dominar toda la secuencia. Sin embargo, es útil pensar en las secuencias que son monótonas para fijar las ideas antes de pensar en las secuencias generales). Nótese que no hemos dicho si son crecientes hacia $+\infty$ o disminuyendo hacia $-\infty$ . Hemos dicho que son ilimitados en magnitud sin elegir una dirección, así que el orden de los reales no entra en esta idea. Podemos hacer lo mismo en los complejos -- si una secuencia excede permanentemente cualquier límite dado, entonces la secuencia es ilimitada en magnitud. Si quisiéramos ser técnicamente correctos, diríamos de las secuencias de puntos, $x_1, x_2, \dots$ y $z_1, z_2, \dots$ , " $|x_n|$ va al infinito" o " $|z_n|$ va al infinito". De nuevo, ignoramos el orden y sólo atendemos a la magnitud de los números. Si nos detenemos aquí, sólo hay un infinito. En la proyección estereográfica del plano sobre la esfera unitaria, ese infinito aparece como el polo norte. Ver " Esfera de Riemann ", donde los círculos de magnitudes cada vez más grandes acaban por acercarse (como una bolsa) a un único punto, etiquetado como " $\infty$ ". Cuando tratamos el infinito en los complejos de esta manera, es más fácil hablar de una "vecindad del infinito" -- es un disco de puntos alrededor del polo norte en la proyección. Cuando desproyectamos, es el conjunto de puntos fuera lado un disco centrado en $0$ . Una de las razones por las que esta forma de pensar en el infinito es útil es que ahora cada punto de la esfera "es el mismo": cualquier pequeña vecindad que se elija alrededor de un punto puede deslizarse a lo largo de la esfera hasta otro punto, incluso el punto en el infinito. Así, los cálculos que antes sólo tenían sentido en puntos finitos pueden tenerlo en $\infty$ .

Si prestamos atención al orden, podemos ser un poco más precisos y, en los reales, decir " $x_n$ va a $+\infty$ "si para cualquier límite $M>0$ la secuencia finalmente se encuentra permanentemente por encima de ese límite y decimos " $x_n$ va a $-\infty$ "si para cualquier límite $M<0$ la secuencia se queda permanentemente por debajo de ese límite. Si pretendemos que estas secuencias son secuencias en la línea real en los complejos, entonces vemos que en un caso, vamos en la dirección $\mathrm{e}^{\mathrm{i} 0} = 1$ y en la dirección $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} = -1$ y fíjate que dijimos que íbamos a $1 \cdot \infty$ y $-1 \cdot \infty$ si nos permitimos (sólo) la más mínima cantidad de álgebra con infinitos. Pero podemos tomar una secuencia $x_n$ que va a $+\infty$ y hacer una nueva secuencia $z_n = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} x_n$ que es una secuencia cuya magnitud aumenta sin límite y cuya dirección es a lo largo del rayo que comienza en $0$ y pasando por $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ . ¿No podríamos generalizar nuestra idea de infinito para permitir infinitos dirigidos ? " $z_n$ va a $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \infty$ ". Esta idea expresa que para cualquier límite $M>0$ y cualquier pequeño error en el argumento $\delta \theta>0$ la secuencia finalmente tiene permanentemente $|z_n| > M$ y $\arg(z_n) \in (\theta - \delta \theta, \theta + \delta \theta)$ . Ahora podemos describir con mayor precisión las secuencias que se alejan del origen acercándose asintóticamente a un rayo desde el origen -- una forma de ir a un infinito con signo donde el signo puede ser cualquier punto del círculo unitario complejo, tal como ocurría con los infinitos con signo en los reales (donde sólo había dos puntos en el círculo unitario, $\pm 1$ ).

Nosotros puede generalizar más, y este proceso de decidir qué hacer con las secuencias que intentan "salirse del borde" (sea lo que sea que eso signifique para los espacios infinitos que no tienen bordes concretos) lleva a puntos en el infinito . Hay muchas opciones. La compactación de un punto de Alexandroff hace la elección de que sólo hay una $\infty$ , como nuestra elección de magnitudes anterior, y opta por tratar todas las secuencias que eventualmente exceden permanentemente cualquier límite dado como si todas convergieran al "punto único", $\infty$ . Esto da variaciones de la esfera de Riemann para cualquier espacio en el que se haga. Si seguimos el camino dirigido hacia el infinito, obtendremos varios espacios proyectivos, pero al menos podemos llevar la cuenta de la dirección en la que nos alejamos hacia el infinito. Hay otras formas de agrupar las secuencias que huyen hacia el infinito en clases y asignar un "punto en el infinito" para los miembros de esa clase, lo que lleva a varios compactación esquemas, pero esto es probablemente más generalización de lo que necesitas para tus pensamientos actuales sobre el infinito.

Answer 3

No hay orden en $\mathbb C$ . ¡Correcto! Pero si $z\in\mathbb C$ , $|z|$ puede ser grande o estar cerca de $0$ . Entonces, toma una secuencia $(z_n)_{n\in\mathbb N}$ de los números complejos. Supongamos que $\lim_{n\to\infty}|z_n|=+\infty$ . Esto significa que los números (reales) $|z_n|$ son arbitrariamente grandes. Por lo tanto, se puede afirmar que $\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$ ( no $+\infty$ ).

Otro ejemplo. Dejemos que $f(z)=\frac 1z$ . Si $z$ está muy lejos de $0$ (es decir, si $|z|$ es muy grande), entonces $f(z)$ está muy cerca de $0$ . Expresamos esto diciendo que $\lim_{z\to\infty}f(z)=0$ . La definición formal es $$(\forall\varepsilon>0)(\exists R>0):|z|>R\implies\bigl|f(z)\bigr|<\varepsilon.$$

Tenga en cuenta que en $\mathbb C$ sólo tenemos uno $\infty$ ; no tenemos una $+\infty$ y un $-\infty$ .

Para saber más sobre esto, lea sobre el Esfera de Riemann .