Cómo muchos tamaños diferentes de la infinidad que existen?

Question

Es bastante sencillo decir que hay un número infinito de diferentes tamaños de infinity, pero luego pensé, "¿Qué tamaño de infinito es eso?"

Mis pensamientos son que el número de cardinalidades es equivalente a la cantidad de números reales, basados en el hecho de que las cardinalidades siempre puede ser ordenada por un aumento de tamaño. Yo no sé realmente cómo probar esto, sin embargo. Se basa principalmente en la intuición, que no es muy fiable cuando se habla de uncountably conjuntos infinitos.

Me pidió originalmente un algo relacionado con la pregunta en otro (y no orientado a matemáticas) foro, y los usuarios de allí me dijeron que no es posible hablar de la cantidad de cardinalidades sin hablar del conjunto de todos los conjuntos, lo que constituye una paradoja. Si un conjunto fueron para contener todos los tamaños diferentes de infinito, tendría que contener su propio juego de poder, que no es posible.

Sin embargo, no estoy completamente convencido de que no es posible hablar de un conjunto de todas las cardinalidades. Claro, una cardinalidad representa un tamaño de borde infinito, pero creo que debería ser posible tener un conjunto de las cardinalidades sin tener el conjunto realmente contienen los varios infinitos. Sería esto evitar que la anterior paradoja?

Por lo tanto, es posible medir el número de diferentes tamaños de infinito, y ¿qué sería de ese tamaño?

Answer 1

No podemos realmente hablar de "infinitos", en cambio, nos habla de "cardinalidades". La cardinalidad de un conjunto es la forma matemática de decir lo grande que es. Por supuesto infinito podría fácilmente con sólo decir $\infty$ que es una forma de símbolo que representa un punto mayor que todos los números reales (pero la idea puede ser transferido a otros contextos). Este no es el mismo tipo de infinito como infinito cardinalidades. Infinito cardinalidades son un conjunto la otra bestia, y están relacionados a la teoría de conjuntos (como se mide el tamaño de los conjuntos, no la longitud de un intervalo).

El Cantor del teorema nos dice que, dado un conjunto siempre hay un conjunto cuya cardinalidad es mayor. En particular, dado un conjunto, su poder tiene un sentido estrictamente mayor cardinalidad. Esto significa que no hay tamaño máximo del infinito.

Pero esto no es suficiente, ¿verdad? No hay máximo de números naturales, pero sólo hay una "pequeña cantidad" de aquellos. Como las muchas paradojas que nos dicen, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto. Es una clase adecuada, que es un lujo (y correcta) manera de decir que es una colección que es demasiado grande para ser un conjunto, pero todavía podemos decidir si es o no algo es de la colección.

En una manera similar, podemos demostrar que la colección de todas las cardinalidades no es una serie cualquiera. Si $X$ es un conjunto de conjuntos, $\bigcup X=\{y\mid\exists x\in X. y\in x\}$ es también un conjunto, y su cardinalidad no es menor que la de cualquier $x\in X$. Por Cantor del teorema tenemos que el juego de poder de $\bigcup X$ tiene incluso una mayor cardinalidad.

Lo que el párrafo anterior muestran es que, dado un conjunto de cardenales, siempre podemos encontrar un cardenal que no sólo no está en ese conjunto, pero también más grande que todos los que en ese conjunto. Por lo tanto la colección de posibles cardinalidades no es un conjunto.

Answer 2

Si $A$ es un conjunto, entonces, el poder establecer $P(A)$ es un conjunto de mayor cardinalidad. Si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos, a continuación, $P(\bigcup_{i\in I}A_i)$ es un conjunto de mayor cardinalidad que cualquiera de las $A_i$. Esto nos permite definir un conjunto infinito $F(a)$ para cada ordinal $a$ tal que $a<b$ implica que el $F(a)$ tiene menor cardinalidad de a $F(b)$. Para ello, vamos a

• $F(\emptyset)=\mathbb N$,
• $F(a)=P(F(b))$ si $a=b+1$ es el sucesor de $b$,
• $F(a)=P(\bigcup_{b<a} F(b))$ si $a$ es un ordinal límite

Ahora bien, si un conjunto de $S$ fueron capaces de enumerar todos infinito cardinalidades, esto nos daría un inyectiva mapa de la clase adecuada de todos los números ordinales en este conjunto, lo cual es absurdo.

Answer 3

Como las otras respuestas han señalado (al menos en el marco de ZFC), la respuesta es "clase adecuada a muchos." Permítanme señalar que este no es el final de la historia.

Se pregunta si los dos adecuada clases tienen el mismo tamaño, preguntando acerca de la existencia de un definibles bijection, etc. En este sentido, la clase de los números ordinales - o, equivalentemente, de cardinalidades de hacer pedidos conjuntos (=inicial ordinales) - es realmente pequeño: toda otra clase adecuada surjects en ella! Dada una clase adecuada $C$, considerar el mapa de $rk: C\rightarrow ON$ el envío de un conjunto $x\in C$ a la única $\alpha$ tal que $x\in V_{\alpha+1}-V_\alpha$, es decir, su (von Neumann) clasificación. Esto está bien definido, y los mapas de $C$ a un cofinal subclase $S$$ON$. Ahora podemos "colapso" $S$ a $ON$ mediante el envío de $\alpha\in S$$ot(\{\beta\in S: \beta<\alpha\})$; esto es surjective. Componer estos dos mapas da un surjection de$C$$ON$.

Mientras tanto podemos construir modelos en los que hay una clase adecuada $C$ sin surjection de $ON$ (por no hablar de una inyección en $ON$): véase Joel David Hamkins' como respuesta a http://mathoverflow.net/questions/110799/does-zfc-prove-the-universe-is-linearly-orderable.

Por último, podríamos preguntar: ¿puede haber una clase adecuada $C$ tal que $ON$ no inyectar en $C$? Esta es una sutil pregunta, y la clase de inyecciones son cosas extrañas; pero creo que la respuesta es sí, a través de la clase de forzamiento (yo vagamente recordó haber visto esto hace mucho tiempo, y ser relativamente simple, pero no recuerdo los detalles).

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La distinción entre la inyección y surjection arriba puede hacer que usted piensa, "Pero espere un minuto! No tenemos el axioma de elección para simplificar las cosas?" De hecho lo hacemos, pero el axioma de elección que solo trata de conjuntos, y en el nivel de las clases "inyecta en" y "es surjected sobre" todavía son distintos, a priori. Podemos tener un "axioma de elección para las clases" (llamado global elección), si queremos ampliar nuestra lengua un poco para hablar acerca de las clases, y este axioma implica que todas adecuada clases tienen el mismo tamaño.

Answer 4

'Kant es uno de los que piensan que... Cada conjunto finito de F excluye al menos uno (1), a pesar de que contradice la afirmación de que hay sólo un número finito de F, sin embargo, es más débil que... Hay un número infinito de F (2)'. La Edad y el Tamaño del Mundo, Jonathan Bennett; citado - p128, La Continua y la Infinitesimal, John Bell. Bell dice: 'Bennett implica que Kant es, simplemente, un error aquí, que, de hecho, (1) y (2) son equivalentes. Pero esto es correcto? Vamos a llevar a dar algunos contemporánea de las ideas matemáticas en la materia". Luego pasa a mostrar que es posible para un conjunto para ser "Kantiana", que es, potencialmente, pero no infinito. Concluye que " ...la existencia de Kant conjuntos es consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos (y de la lógica clásica) mientras el axioma de elección no está asumido.' (Cursiva en el original).

@Asaf Karagila Este es rayando en la infracción de derechos de autor, pero de todos modos: "supongamos que tenemos un conjunto potencialmente infinito de Una, y se trata de demostrar que es realmente infinito, argumentando de la siguiente manera. Empezamos por elegir un miembro a0 de A; puesto que a es potencialmente infinito, debe ser un miembro de Una diferente de a0; recogida de dichos estados y la llamaremos a1. Ahora de nuevo por el hecho de que es potencialmente infinito, hay un miembro de Una diferente de a0, a1 - pick tal y llamar a a2. De esta manera se genera una lista de a0, a1, a2, ... de los distintos miembros de Una; por lo tanto, estamos tentados a concluir, es realmente infinito. Pero, evidentemente, la fuerza de este argumento depende de nuestra supuesta capacidad de "elegir", para cada N, un elemento de Una distinta de a0, ..., aN - una capacidad consagrados en el conjunto de la teoría de principio que se conoce como el axioma de elección. Ahora el axioma de elección es ... una perfecta armonía matemática de la asunción. Pero ... su negación es igualmente coherente. De hecho, puede ser negada, en tal manera como para evitar que el argumento que acaba de ser presentado de ir a través de, es decir, permitir la presencia de potencialmente infinito de conjuntos que no son al mismo tiempo infinito.'

Answer 5

Los diferentes tamaños de los infinitos son llamados transfinities. Ellos pueden ser capturados como la matemática de conjuntos formalizado a través de definiciones. La cardinalidad (número de) transfinities no es en sí mismo un transfinity, es infinito. No puede ser capturado como un conjunto. No puede ser formalizada a través de una definición matemática. En ese sentido es verdaderamente infinito que sólo significa un desconocido, indefinible concepto.

Tomando prestadas ideas de la teoría de la complejidad vemos que transfinities son compresibles, mientras que el infinito no es. Pura aleatoriedad no es compresible. La cardinalidad de transfinities conjuntos realidad es pura aleatoriedad, que es la máxima entropía. Esa es una manera interesante para atar en la entropía en los conceptos de transfinities y su cardinalidad (número de yransfinities).

Además, matemáticamente nada puede ser definida como el estado de máxima entropía. Para obtener filosófica (y también matemático) la cardinalidad de transfinities es el alfa y el omega.