¿Son todos $\delta$-CAT(0) los grupos hiperbólicos?

Question

En Alessandro Sisto apuntes geométricas grupo de teoría menciona que "Muchos, probablemente la mayoría de la gente en el campo" creemos que no todos los $\delta$hiperbólico grupos de GATO(0) grupos. Puede algo ser dicho en cuanto a por qué esto sería la sospecha? Parece completamente razonable para mí que algunos de GATO(0) (o me atrevería a decir GATO(-1)?) el espacio podría ser cocinado para cualquier $\delta$hiperbólico grupo.

Hay ejemplos concretos de hiperbólico grupos para los cuales un esfuerzo razonable ha sido dado para mostrar que ellos son (o no son) GATO(0) sin resultado? O son más hiperbólico del grupo de GATO(0) estados sabe?

Answer 1

Creo que Sapir del grupo $$ G:=\langle a, b, t;^t=ab, b^t=ba\rangle $$ es el grupo que usted está buscando. Sapir y Drutu reclamado (originalmente citando un resultado de I. Kapovich pero, a continuación, indicando que Minasyan había una prueba) que $G$ es hiperbólica, pero sugirió que podría no ser lineal (1), (2). Se plantea este problema en el año 2004, y con el tiempo he comprobado!) esta pregunta era todavía un tema de conversación entre geométricas grupo de teóricos. Si recuerdo correctamente, la pregunta de si es $\operatorname{CAT}(0)$ también le preguntaron*. En 2013, el Botón proporcionaron la primera prueba en la literatura que este grupo es hiperbólica, y aunque la prueba de que ciertos grupos similares se $\operatorname{CAT}(0)$ lo hace no muestran que Sapir del grupo es $\operatorname{CAT}(0)$ (3). Tenga en cuenta que Sapir del grupo es residual finito (ascendente HNN-extensiones de libre grupos son siempre residual finito).

Otro grupo a considerar es la de un grupo de M. Kapovich. Él construyó un hiperbólico grupo que es no lineal. El papel, al parecer, es este uno. Sin embargo, después de un movimiento rápido a través de, estoy teniendo problemas para encontrar este resultado. No sé si M. Kapovich del grupo es $\operatorname{CAT}(0)$ o no (y, para ser honesto, después de haber mirado a través del papel que probablemente es $\operatorname{CAT}(0)$), pero es que vale la pena contemplar.

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*Por cierto recuerdo que en una conferencia en el verano de 2012 tratando ingenuamente demostrar que $G$$\operatorname{CAT}(0)$, fue en vano!

Answer 2

Quoth Gromov, Asintótica invariantes de infinito grupos, 1993, p193:

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"Cada palabra hiperbólico grupo de admitir una discreta cocompact acción en algunos métrica geodésica del espacio $X$$K(X)<\varepsilon<0$?

Parece que no podemos perder o ganar mucho por no permitiendo localmente compacto espacios (donde cocompact debe ser reemplazado por el cobounded).

Me tomó cerca de diez años, finalmente, a aceptar el fracaso en la resolución de estas preguntas y admitir "hyperbolicity" como una definición permanente en sustitución de "coarse hyperbolicity", cuyo lapso de vida pensé que iba a ser medido por el tiempo necesario para probar "hyperbolicity"="$K<0$".

El primer caso donde la $K<0$ pregunta permanece abierta las preocupaciones de los pequeños cancelación de los grupos. (...)"

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(Tenga en cuenta que los Sabios y de los Agol desarrollos hecho progresos sustanciales en la comprensión de los pequeños cancelación de los grupos, al menos en el $C'(1/6)$ de los casos; sin embargo a pesar de esto no estoy seguro de que conoce aún GATO(-1) o incluso prácticamente GATO(-1); yo no estoy seguro acerca de GATO(0) pero es, posiblemente, se sabe: no estoy seguro de si Sabia siempre se obtiene un cocompact acción.)