¿Lo único determinado es la impedancia de un circuito de la cadena infinito?

Question

Una reciente pregunta la pregunta de cómo encontrar la impedancia de una cadena infinita de la serie y paralelo circuitos. El estándar truco es dividir la cadena después de que el primer enlace, y el tratamiento de la cola del circuito como una copia de la original, la más grande del circuito. Es decir, el circuito contiene una copia de sí mismo, que está bien como está infinitamente larga.

La ecuación correspondiente para la impedancia del circuito $Z$ es entonces

$$ Z=2Z_1+\frac{1}{\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z}}, $$ lo que le da una sencilla ecuación de segundo grado en $Z$ con soluciones $$ Z=Z_1\left[1\pm\sqrt{1+2Z_2/Z_1}\right]. $$

Ahora, puramente resistiva $Z_1$ $Z_2$ es suficientemente claro que el signo de la raíz cuadrada debe tener, desde luego, $\sqrt{1+2Z_2/Z_1}>1$ y el signo menos es descartado por la condición de que $\mathrm{Re}(Z)\geq 0$ (a menos que uno está bien con la energía libre viene de la nada).

Sin embargo, este no es necesariamente el caso. Un ejemplo fácil es donde $Z_1=1/i\omega C$ es capacitiva y $Z_2=i\omega L$ es inductivo, en cuyo caso $$ 1+2Z_2/Z_1=1-2\omega^2 LC $$ puede, dependiendo de la $\omega$, ser menor que uno, dando dos valores posibles para $Z$. Este resultado se mantenga si ambas impedancias han pequeño pero distinto de cero de resistencia de los componentes, que es un físico más la situación. Una infinita cadena de osciladores acoplados tiene todos los ingredientes de una ola de línea, pero eso no significa que la impedancia de la línea que de repente puede tener dos valores diferentes.

¿Cómo resolver esto? ¿Cuáles son las condiciones en las $Z_1$$Z_2$, para que esto sea un problema? Cómo se relaciona esto con el continuum límite en la línea de transmisión?

Answer 1

OK. Vamos a empezar con la primera ecuación

$$Z=Z_1\left[1\pm\sqrt{1+2Z_2/Z_1}\right] \tag 1$$
y considerar la posibilidad de pérdidas del circuito. Es una buena idea para determinar el valor de $Z_1$ $Z_1=ix_1$ y de manera similar, $Z_2=ix_2$ donde $x$ denota la reactancia.

Para la reactancia capacitiva $x<0$, y para la reactancia inductiva $x>0$. Tenemos:

$$Z=ix_1\pm\sqrt{-(x_1^2+2x_1x_2)} \tag 2 $$

Ahora, vemos que la condición siguiente:
$$x_1^2+2x_1x_2>0 \tag 3$$ En el caso contrario la impedancia de $Z$ contendrá una parte real, y por lo tanto el circuito se va a consumir o dan energía, dependiendo del signo de la parte real.

La cuestión se reduce a la elección del signo de la raíz cuadrada.

Para ello vamos a suponer que la impedancia de $Z$ contiene una pequeña resistencia óhmica $r_1$. Eso significa que tomamos $Z_1=r_1+ix_1$$(1)$.

El siguiente paso es expandir $Z$ en series de Taylor con respecto a $r_1$. Yo saltar por encima de la parte de matemáticas y escribir sólo resultado

$$Z=r_1+ix_1+ \sqrt{x_1^2+2x_1x_2}\left ( i+\frac{r_1}{x_1}\right ) \tag4 $$

El signo de la raíz cuadrada de $(4)$ debe ser seleccionado de manera que la parte real de esta expresión fue positivo.

Deje $x_1>0$. Debido a $r_1>0$, a fin de que la parte real de la $(4)$ sería positivo debemos tomar el signo $+$ frente a la raíz cuadrada.

Deje $x_1<0$. Debido a $r_1>0$, a fin de que la parte real de la $(4)$ sería positivo debemos tomar el signo $-$ frente a la raíz cuadrada.

Finalmente, mirando en el proceso de $r_1\rightarrow 0$, llegamos al resultado final:

$$ Z=\left\{ \begin{matrix} ix_1+i\sqrt{(x_1^2+2x_1x_2)} \;\text{ if}\; x_1>0, \\ ix_1-i\sqrt{(x_1^2+2x_1x_2)} \;\text{ if}\; x_1<0. \end{de la matriz}\right. $$ Recuerde que $(3)$ deben tener.

Pero ¿qué sucede cuando $(3)$ no se aplica?

Es imposible, en este caso para desarrollar un estacionario sinusoidal régimen en el circuito y el concepto de impedancia no tiene sentido.