Muestran que

Question

Muestran que: $$\int_0^{\pi/2}sin^p\,\theta\;cos^q\,\theta\;d\theta = \frac{\sqrt{\frac{p+1}{2}}\sqrt{\frac{q+1}{2}}}{2\sqrt{\frac{p+q+2}{2}}},\; p,q > -1$ $

Esta es la pregunta.

Answer 1

Creo que el OP significaba la función Gamma en vez de la raíz cuadrada. Si es así la relación es verdadera, a partir de la función Beta tenemos:

$$\int_0^1 v^{y-1}(1-v)^{x-1} dv = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

Entonces sustituyendo $v = \sin^2 \theta$ le proporcionará el resultado.

Answer 2

El resultado anunciado es no correcta, como se puede ver tomando $q=1$ dando $$ \int_0^{\pi/2}\sin^p\,\theta\;\cos^q\,\theta\;d\theta = p \int_0^1u^p\,du=\frac1{p+1}\ne \frac{\sqrt{p+1}}{2\sqrt{p+3}},\quad > -1 , $$ en general.

Answer 3

Si $p=q=1$, obtenemos

$$\int_0^\frac {\pi}{2} \frac {\sin (2\theta)d\theta}{2} $$

$$=\frac {1}{4}[-\cos (2\theta)]_0^\frac {\pi}{2} $$

$$=\frac {1}{2} \neq \frac {1}{2\sqrt {2}} $$

Su fórmula no parece ser correcto.