Para $x,y \in \mathbb{R}_{0}^+$ Quiero demostrar que $$\sqrt{xy} \leq \frac{2xy}{x+y}$$ sólo si $x=y$ . Creo que elevar al cuadrado ambos lados es una transformación de equivalencia debido a $x>0, y>0$ pero no me llevó a ninguna parte.
¿Puede alguien darme una pista o una solución?
Vale, realmente no sé por qué no había visto esto. Tal vez por mirar demasiado tiempo :/ ¡Gracias!
Basado en sus derivaciones, $(x-y)^20$ significa, desigualdad sólo es válida para $x=y$ . Esto implica que la afirmación original es válida si y sólo si, cuando $x=y$ .
@lonestudent: Eso es lo que he intentado expresar con "... que aparentemente sólo es válida para $x=y$ ." ¿Hay algo que no esté claro?
Gracias por tu respuesta, pero se supone que no debo usar la desigualdad aritmética-geométrica. Además no veo inmediatamente por qué tomar el recíproco es una transformación de equivalencia
En general, para demostrar este tipo de desigualdades hay que trabajar hacia atrás (es decir, simplificar lo que se da) hasta obtener algo que se sabe que es cierto, y luego trabajar hacia adelante para su demostración. Por ejemplo, eliminando la fracción y elevando al cuadrado ambos lados, luego combinando términos y factorizando se obtiene algo verdadero...
Observe que $$(x-y)^2\geq 0.$$ Esto da $$0\leq x^2-2xy+y^2,$$ añadir $4xy$ a ambas partes, $$4xy\leq x^2+2xy+y^2=(x+y)^2,$$ multiplicar ambos lados por $xy$ para conseguir $$(2xy)^2\leq xy(x+y)^2$$ y luego dividir $(x+y)^2$ y sacar la raíz cuadrada para obtener $$\sqrt{xy}\geq\frac{2xy}{x+y}.$$ Por supuesto, la igualdad se mantiene cuando $x=y$ .
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wolframalpha.com/input/ ¿Y esto? Originalmente se suponía que debía mostrar que es siempre falso en caso de $x \neq y$ . Lo he modificado ligeramente porque pensé que el caso $x=y$ sería cierto.