Minimizar la suma del menor y del mayor entre los enteros de la recta real.

Question

Supongamos que hay 3 enteros no negativos $x$ , $y$ y $z$ en la línea real. Se nos dice que $x + y + z = 300$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x$ para ser el menor número entero, y $z$ para ser el más grande.

¿Cómo puedo minimizar $(x + z)$ ?

Intento: $x + z = 300 - y$ por lo que, para empezar, debería maximizar y. Esto ocurre en $y = z - 1$ . Por lo tanto, tenemos $x + 2z = 301$ . Ahora, $z = \dfrac {301}2 - \dfrac x2$ . $\dfrac {dz}{dx} = -\dfrac 12$ . Aumentar $x$ por $1$ disminuye $z$ sólo por $\dfrac12$ . Por lo tanto, debería elegir el más pequeño posible $x$ que es $1$ . Entonces, $z = 150$ . $\min (x+z) = 151$ .

Preguntas

1. ¿Es correcta mi lógica?
2. ¿Existe una forma sistemática de resolver cuestiones de este tipo? Es decir, dados números no negativos en la recta real que suman un valor fijo, ¿cómo minimizar la suma del mayor y el menor de ellos?

Answer 1

Su lógica está bien. Trabajando con enteros a veces hay "efectos finales". Parece que estás requiriendo que $y \ne z$ y una solución alternativa es $(0,149,151)$ pero que tiene la misma suma de $x+z$ . Sin la restricción que $y \ne z$ podrías tener $(0,150,150)$ para una suma de $150$

Su enfoque es bastante sistemático. Si tuvieras que tener $7$ diferentes enteros no negativos suman $300$ y quisieras minimizar la suma del más pequeño más el más grande, argumentarías lo mismo: quieres que los del medio sean lo más grandes posible, así que tienes seis números que suman $300$ (o un poco menos), por lo que la media es $50$ Así que son $(47,48,49,50,51,52)$ y es necesario añadir un $3$ para hacer $300$ y la suma es $3+52=55$ . No es necesario el derivado aquí.

Answer 2

Así que consideremos dos casos

1. $z=y$

en este caso tienes $x+2*z=150$ . aquí $x+z$ podría ser posible si $x=0$ y $z=150$ ; de lo contrario se obtiene $y$ más grande entonces $z$ que contradice la condición de ser $z$ mayor número entero, ahora consideremos la segunda situación

2. $z>y$

aquí $x+z=300-y$

porque $z>y$ significa que $y<150$ y $z>150$ como $x>=0$ y $z>150$ obtenemos $x+z>150$ por lo que sólo es posible la suma de $x+z$ es mínimo si y sólo si $x+z=150$