Decir que sabemos que $P(k) \implies P(k+3)$. Entonces si sabemos $P(1)$ es cierto, sabemos que $P(4), P(8) \dots$ también son verdaderas.
¿Sin embargo si sabemos $P(1)$ es false, significa $P(4), P(8) \dots$ también son falsas?
Estoy un poco confundida en si podemos confiar en una implicación que es de la forma, falso $\implies P(x)$.
Aquí está un ejemplo simple para conducir el punto de inicio en este caso: que $P(n)$ ser el predicado 'es mayor que $n$ $2$'. Entonces si $P(k)$ es cierto, tenemos $k+3\gt k\gt 2$, $P(k+3)$ es verdad; así $P(k)\implies P(k+3)$. Además, $P(1)$ es manifiestamente falsa; $1$ ciertamente no es mayor que $2$. Pero de hecho, $P(4)$, $P(7)$, $\ldots$ son todas verdaderas.
No, en tu ejemplo, a sabiendas de $P(1)$ es falso nos dice absolutamente nada sobre el valor de verdad de $P(n)$, $n> 1$.
Incluso si nos sabemos de antemano que toda la implicación es verdadera, de modo que es cierto que $P(k) \implies P(k+1)$, y también nos enteramos de que $P(k)$ es falso, entonces todavía no podemos concluir nada sobre la verdad o falsedad de $P(k + 1)$, incluso a pesar de que la implicación es verdadera.
Hemos definido implicación (aka el material condicional), como se usa en la lógica y en las matemáticas, de tal manera que $$\text{FALSE} \implies P(x)\quad \text{ is always true}.$$
En efecto, por definición: $$P \implies Q \quad \text{is FALSE if and only if}\;\; P \;\;\text{is true}\;\;{\bf and}\;\; Q \;\;\text{is false}.$$
Recordar la verdad de la tabla durante la implicación $P\implies Q$, lo que le da a todo posible valor de verdad de las asignaciones para P y Q, y la resultante del valor de verdad de $P\implies Q$:
No, una declaración falsa implica una declaración verdadera. Lo que quiero decir es que si $A$ es falso e $B$ es verdadera, entonces la declaración de $A \implies B$ es cierto. Una manera de pensar acerca de esto es tener en cuenta que el $A\implies B$ es equivalente a $\neg A \lor B$ que no es $A$ o $B$. Pero si $A$ es falsa, entonces la $\neg A$ es cierto. Y si $B$ es verdadero, verdadero o verdadero es verdadero.
También si $A$ es falso e $B$ es falso, la declaración de $A\implies B$ es cierto.
Así que a partir de este se puede tomar una declaración falsa implica cualquier declaración.
Recomiendo leer a través de esta pregunta y respuestas: ¿Verdadero o falso? $x^2\ne x\implies x\ne 1$
O echar un vistazo a esto: http://www.jstor.org/stable/27961699.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
