Límite de medidas, dos cuestiones sobre límites de integrales

Question

Supongamos que $\mu_n$ es una secuencia de medidas sobre $(X, \mathcal{A})$ tal que $\mu_n(X) = 1$ para todos $n$ y $\mu_n(A)$ converge como $n \to \infty$ para cada $A \in \mathcal{A}$ . Llamar al límite $\mu(A)$ . Puedo demostrar que $\mu$ es una medida. Tengo dos preguntas.

Primera pregunta. ¿Tenemos necesariamente que $\int f\,d\mu_n \to \int f\,d\mu$ siempre que $f$ ¿es acotada y medible?

Segunda pregunta. ¿Tenemos necesariamente que $$\int f\,d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int f\,d\mu_n$$ siempre que $f$ es no negativo y medible?

Gracias de antemano.

Answer 1

La primera pregunta es sí. Dado $|f|\leq M$ está acotada, podemos aproximarla uniformemente utilizando funciones simples cortando $[-M, M]$ en un número finito de intervalos $I_n$ con longitud $\epsilon$ y definiendo $\phi_n (x) =\sum_n \inf\{ I_n\} \chi_{f^{-1}(I_n)}(x) $ . Tendríamos $\|f - \phi_n\|_\infty \leq \epsilon$ . $$\lim_m\int f d\mu_m = \lim_m \lim_n \int \phi_n d\mu_m$$ ya que el límite en $n$ es uniforme, es decir, para cada $\epsilon > 0$ si elegimos $n$ suficientemente grande e independiente de $m$ tenemos $$\bigg|\int_X fd\mu_m - \int_X \phi_n d\mu_m \bigg|\leq \int_X |f-\phi_n| d\mu_m \leq \|f-\phi_n\|_\infty \mu_m(X) \leq \|f-\phi_n\|_\infty \leq \epsilon,$$ por el teorema de Moore-Osgood, podemos intercambiar los dos límites y tendríamos $$\lim_n \lim_m \int \phi_n d\mu_m = \int f d\mu.$$

La segunda pregunta también es afirmativa. Para cada función simple inferior a $f$ tenemos $$\int \phi d\mu_n \leq \int f d\mu_n$$ tomar el $\liminf$ tenemos $$\int \phi d\mu \leq \liminf_n \int f d\mu_n$$ luego tomar el $\sup$ sobre todas las funciones simples menores que $f$ . Por definición de la integral de Lebesgue, tenemos $$\int f d\mu \leq \liminf_n \int f d\mu_n.$$