Vs numerable compacto compacto vs propiedad de intersección finita

Question

No es este ejercicio: Demostrar que los contables de la compacidad es equivalente a la siguiente condición. Si ${C_n}$ es una contables de la colección de conjuntos cerrados en S la satisfacción de la intersección finita hipótesis, a continuación, $\bigcap_{i=1}^\infty C_i$ es no vacío.

Definiciones:

• Un Espacio S es countably compacto si cada subconjunto infinito de S tiene un punto límite en el S.
• Un espacio S tiene la intersección finita de la propiedad la condición de que si ${C_\alpha}$ es cualquier colección de conjuntos cerrados de tal manera que cualquier número finito de ellos tiene una intersección no vacía, entonces el total de la intersección $\bigcap_\alpha C_\alpha$ no está vacía
• Una familia de conjuntos cerrados, en cualquier espacio, de tal manera que cualquier número finito de ellos tiene una intersección no vacía, se dijo para satisfacer la intersección finita de hipótesis.

Ahora también hay una relacionada con el teorema en el libro: la Compacidad es equivalente a la intersección finita de la propiedad.

Suena a mí contables compacidad y compacidad son prácticamente los mismos.

No estoy pidiendo una solución para el ejercicio. Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es la diferencia entre Compacidad y Contables de la Compacidad en términos de cerrado Colecciones? Ambas cosas me suenan a esto: Dada una colección de conjuntos cerrados, cuando un número finito de ellos tiene una intersección no vacía, todos ellos tienen una intersección no vacía.

BTW: las definiciones, los teoremas y el ejercicio de la Topología de Hocking/Jóvenes.

Answer 1

La diferencia es que si $X$ es compacto, cada colección de conjuntos cerrados con la intersección finita de la propiedad tiene un no-vacío intersección; si $x$ es sólo countably compacto, esto sólo se garantiza para los contables de las colecciones de conjuntos cerrados con la intersección finita de la propiedad. En un countably espacio compacto que no es compacto, habrá algunos innumerable colección de conjuntos cerrados que tiene la intersección finita de la propiedad, sino también tiene intersección vacía.

Un ejemplo es el espacio $\omega_1$ de los contables de los números ordinales con el fin de topología. Para cada una de las $\xi<\omega_1$ deje $F_\xi=\{\alpha<\omega_1:\xi\le\alpha\}=[\xi,\omega_1)$, y vamos a $\mathscr{F}=\{F_\xi:\xi<\omega_1\}$. $\mathscr{F}$ es una familia anidada: si $\xi<\eta<\omega_1$,$F_\xi\supsetneqq F_\eta$. Por lo tanto, ciertamente tiene la intersección finita de la propiedad: si $\{F_{\xi_0},F_{\xi_1},\dots,F_{\xi_n}\}$ es cualquier finito subcolección de $\mathscr{F}$, e $\xi_0<\xi_1<\ldots<\xi_n$,$F_{\xi_0}\cap F_{\xi_1}\cap\ldots\cap F_{\xi_n}=F_{\xi_n}\ne\varnothing$. Pero $\bigcap\mathscr{F}=\varnothing$, debido a que para cada una de las $\xi<\omega_1$ tenemos $\xi\notin F_{\xi+1}$. Este espacio es un ejemplo de un countably espacio compacto que no es compacto.

Añadido: tenga en cuenta que ninguno de ellos dice:

Dada una colección de conjuntos cerrados, cuando un número finito de ellos tiene una intersección no vacía, todos ellos tienen una intersección no vacía.

La intersección finita de la propiedad no es que algún número finito de conjuntos no vacíos intersección: se dice que cada subfamilia finita no vacía de intersección. Consideremos, por ejemplo, los conjuntos de $\{0,1\},\{1,2\}$, e $\{0,2\}$: cada dos de ellos no tienen intersección vacía, pero la intersección de los tres está vacía. Esta pequeña colección de conjuntos no tienen la intersección finita de la propiedad.

Aquí es quizás una mejor manera de pensar de estos resultados. En un espacio compacto, si usted tiene una colección de $\mathscr{C}$ de los conjuntos cerrados cuya intersección $\bigcap\mathscr{C}$ está vacía, entonces algunos finito subcolección de $\mathscr{C}$ ya tiene intersección vacía: existe algún entero positivo $n$, y hay algunos $C_1,\dots,C_n\in\mathscr{C}$ tal que $C_1\cap\ldots\cap C_n=\varnothing$. En un countably espacio compacto algo similar, pero más débiles es cierto: si usted tiene una contables de la colección de $\mathscr{C}$ de los conjuntos cerrados cuya intersección $\bigcap\mathscr{C}$ está vacía, entonces algunos finito subcolección de $\mathscr{C}$ ya tiene intersección vacía. En un countably espacio compacto no se puede decir en general, cualquier cosa acerca de innumerables colecciones de conjuntos cerrados con intersección vacía.