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¿He encontrado un error en los ejercicios "Martingales" de Williams?

Quiero resolver el Problema EG.2. de Probabilidad con Martingalas:

El planeta X es una esfera con centro en O. Tres naves espaciales A, B y C aterrizan al azar en su superficie, sus posiciones son independientes y cada una distribuida uniformemente en la superficie. Las naves espaciales A y B pueden comunicarse directamente por radio si $\measuredangle AOB < 90^\circ$. Muestra que la probabilidad de que puedan mantenerse en contacto (por ejemplo, A comunicándose con B a través de C si es necesario) es $(\pi + 2)/(4\pi)$.

Creo que he demostrado que la probabilidad es de hecho $(2 \pi + 1) / (4 \pi)$. Para comenzar, designamos por $AB$ (resp. $AC$, $BC$) el evento de que $A$ y $B$ estén dentro de $90^\circ$ uno del otro. Luego observamos que la probabilidad de que la comunicación sea posible está dada por:

$$P(comms) = P(AB \cup (AC \cap BC)),$$

lo cual después de alguna manipulación básica se puede reescribir como

$$P(comms) = P(AB) + P(AC \cap BC) - P(AB \cap AC \cap BC).$$

Luego procedemos calculando cada término del lado derecho. (Un aviso de que mi argumento y notación son algo imprecisos, y agradecería cualquier idea para mejorarlos). Para $P(AB)$, tenemos

$$P(AB) = \iint_S P(AB | A = x) \frac{1}{|S|} dS(x),$$

donde $S$ denota la superficie del planeta y $|S|$ su área superficial. Por simetría, vemos que $P(AB|A) = 1/2$, por lo que $P(AB) = (1/2)(1/|S|)|S|=1/2$.

Luego,

$$P(AC \cap BC) = \iint_S P(AC|C = x) P(BC|C = x) \frac{1}{|S|} dS(x).$$

Por el mismo argumento que antes, $P(AC|C) = P(BC|C) = 1/2$, y por lo tanto $P(AC \cap BC) = 1/4$.

Finalmente, tenemos

$$P(AB \cap AC \cap BC | A=x) = \iint_{S/x} P(AC \cap BC | A = x, B = y) \frac{1}{2|S|} dS(y),$$

donde $S/x$ denota la hemiesfera de $S$ centrada en $x$. Ahora, $P(AC \cap BC|A=x,B=y)$ corresponde a la fracción de $S$ cubierta por la intersección de $S/x$ y $S/y$. Si definimos un sistema de coordenadas esféricas en $S$ con $x$ correspondiendo al ángulo polar $\theta = 0$, entonces esta fracción está dada por $1/2 - \theta(y)/(2 \pi)$ para $0 \leq \theta(y) \leq \pi/2$ (es decir, $\theta(y)$ en $S/x$), y por lo tanto

$$P(AB \cap AC \cap BC | A=x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4\pi}$$

(donde omito realizar la doble integral explícitamente por brevedad).

En resumen, obtenemos

$$P(comms) = \frac{2 \pi + 1}{4 \pi},$$

como se mencionó anteriormente, lo que difiere del resultado declarado por Williams, aunque no se me presenta ningún error obvio. Además, he escrito un simulador de Monte Carlo en Python que parece confirmar mi resultado (y que puedo proporcionar si alguien lo encuentra útil).

En resumen, planteo lo siguiente: (1) ¿Está en lo correcto Williams, o lo estoy yo?; y (2) ¿Cómo se puede mejorar, hacer más riguroso o más elegante mi argumento?

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JiminyCricket Puntos 143

El problema está redactado de forma ambigua. Sensatamente interpretaste "they" como referente a las naves espaciales A y B, sujeto de la oración anterior, pero en realidad se refiere a las tres naves espaciales, sujeto de la oración anterior a esa.

Tus cálculos son correctos, y para la probabilidad de que las tres naves espaciales estén en contacto, resultan en

\begin{align} P(AB\cap BC\cap CA)+3P(AB\cap BC\cap\overline{CA}) &= 3P(AB\cap BC)-2P(AB\cap BC\cap CA) \\ &= 3\cdot\frac14-2\cdot\left(\frac14-\frac1{4\pi}\right) \\ &= \frac{\pi+2}{4\pi}\;. \end{align}

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