¿Cuál es la diferencia entre probabilidad y probabilidad?

Question

Soy un principiante en la probabilidad y comenzó a leer el material relativa. Me encontré con la pregunta del ejercicio "encuentra el espacio de la probabilidad de lanzar una moneda justa hasta que se observa la primera cabeza". por lo tanto, me gustaría preguntarte, son probabilidad y probabilidad espacio diferentes? En caso afirmativo, proporcione el ejemplo anterior como la pregunta.

Answer 1

Un espacio de probabilidad es un trío $(\Omega,\mathcal F,P)$ donde $\Omega$ es un conjunto, $\mathcal F$ una álgebra de la sigma en $\Omega$, y $P$ una probabilidad medida en $(\Omega,\mathcal F)$. Por lo tanto, una probabilidad es el tercer elemento de un trío de definir un espacio de probabilidad.

Ejemplo: Para modelar el tiro de un dado, se puede usar $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal F=2^\Omega$ y $P:A\mapsto\frac16\#A$ cada $A\subseteq\Omega$.

Answer 2

Eres un principio en la probabilidad? En ese caso, no debería ser el aprendizaje acerca de la probabilidad de espacios, creo. Usted debe aprender acerca de los axiomas de Kolmogorov, técnicas de conteo, funciones de distribución, el Teorema de Bayes, etc.

De todos modos, para una probabilidad de que el espacio es a menudo denotado $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$, un triple de tres cosas:

$\Omega$ es el conjunto de posibles resultados. Es no vacío. Aquí $\Omega = (H, TH, TTH, TTTH, ...)$

$\mathfrak{F}$ es un conjunto de subconjuntos de a $\Omega$ que representa la "información". Los elementos de $\mathfrak{F}$ son llamados "eventos", que significa que sabemos que la probabilidad de cualquier elemento de $\mathfrak{F}$ (probabilidad de cualquier evento). Es posible que desee comprobar esta Wikipedia sección .

A veces, podemos optar $\mathfrak{F} = 2^{\Omega}$, es decir, sabemos que las probabilidades de cada uno de los subconjuntos de a $\Omega$. Creo que siempre podemos elegir $\mathfrak{F} = 2^{\Omega}$ si $\Omega$ es contable.

$2^{\Omega}$ , es la más grande posible,$\mathfrak{F}$.

La más pequeña posible,$\mathfrak{F}$$(\emptyset, \Omega)$, lo que significa que saben que la probabilidad de que nada va a pasar es cero y que algo va a suceder es uno. Significado, no sabes las probabilidades de que cualquiera de los subconjuntos de a $\Omega$ o como Ygritte diría, que no sabes nada.

$\mathfrak{F}$ tiene ciertas propiedades:

1 $\Omega \in \mathfrak{F}$ Obviamente sabemos, la probabilidad de que cualquier cosa puede suceder es que 1.

2 $A \in \mathfrak{F} \to \Omega$ \ $ A \in \mathfrak{F}$ Obviamente, si queremos saber la probabilidad de que un evento ocurra, sabemos que la probabilidad de que dicho evento no ocurra. Es obvio que $A \subseteq \Omega$ desde $\mathfrak{F}$ es un conjunto de subconjuntos de a $\Omega$.

3 $A_1, A_2, ... \in \mathfrak{F} \to \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}$. Si sabemos que las probabilidades de cada evento $A_1, A_2, ...$, entonces sabemos que la probabilidad de que al menos uno de ellos pasando, pero no viceversa.

En nuestro caso, aquí están algunas de las posibles $\mathfrak{F}$'s (compruebe que la compruebe las propiedades anteriores):

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega, H, TH \cup TTH \cup TTTH \cup ...)$

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega, H \cup TH, TTH \cup TTTH \cup ...)$

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega, H \cup TTH, TH \cup TTTH \cup ...)$

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega, H \cup TTH \cup TTTTH \cup ..., TH \cup TTTH \cup TTTTTH...)$

y, por supuesto,

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega)$

$\mathfrak{F} = 2^{\Omega}$

Finalmente, $P$ es la probabilidad de medida, que es el método para calcular la probabilidad de eventos. Es algo así como la asignación de un número (es decir, la probabilidad) de que evento.

Tiene las propiedades:

1 asignación de $\mathfrak{F} \to [0,1]$ no podemos calcular la probabilidad de objetos que no están en $\mathfrak{F}$, por definición. También, hay probabilidades negativo, pero vamos a considerar $[0,1]$ por ahora.

2 $P(\Omega) = 1$ por supuesto

3 $P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$ si $A_1, A_2, ... \in \mathfrak{F}$ $A_1, A_2, ...$ son pares distintos. Si sabemos que las probabilidades de cada uno de los pares distintos eventos $A_1, A_2, ...$, entonces sabemos que la probabilidad de que al menos uno de ellos sucediendo y vice-versa.

En nuestro caso, si elegimos $\mathfrak{F} = 2^{\Omega}$, podemos decir que

$$P(H) = 1/2, P(TH) = 1/4, P(TTH) = 1/8, ...$$ since anything you put inside $P()$ is an element of $\mathfrak{F}$

Se puede ver que $$P(H^C) = P(TH \cup TTH \cup TTTH \cup ...)$$

$$= P(TH) + P(TTH) + P(TTTH) + ... = 1/4 + 1/8 + ... = 1/2$$

Si elegimos $\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega, H \cup TTH, TH \cup TTTH \cup ...)$, entonces no hay manera de que podamos asignar un valor a $P(TH)$ $TH$ no es ni siquiera una entrada válida para $P()$ desde $TH \notin \mathfrak{F}$

Es útil considerar las variables aleatorias a la hora de explicar la probabilidad de espacios.

Una variable aleatoria puede ser pensado como una rentabilidad de un juego.

Formalmente, es una asignación de $\Omega \to \mathbb{R}$ s.t. su "preimages" (ver ejemplos a continuación) son eventos (elementos de $\mathfrak{F}$)

Dicen que lanzamos dos monedas.

Sea X la variable aleatoria es igual a 1 si el resultado es de dos cabezas y 0 en caso contrario. Así, la ganancia de, digamos, $1 si el resultado es de dos cabezas y nada en caso contrario.

Los resultados que se traducen en $X=1: \ HH$

Los resultados que se traducen en $X=0: \ TH, HT, TT$

Por lo tanto, la preimages de X son: $\emptyset, \Omega, HH, TH \cup HT \cup TT$

Ahora consideran que la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$

donde

$\Omega = (HH, TH, HT, TT)$

$\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega)$

$X$ no es una "variable aleatoria en $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$" ya que algunas de sus preimages no están en $\mathfrak{F}$.

La explicación intuitiva: de Nuevo, $(\emptyset, \Omega)$ es la más pequeña posible, $\sigma$- álgebra de $\Omega$. Por lo tanto, si $\mathfrak{F} = (\emptyset, \Omega)$, todo lo que sabemos es que el$P(HH \cup TH \cup HT \cup TT) = 1$$P(\emptyset) = 0$. No tenemos idea de cómo el juego va a salir.

Ahora, ¿qué pasa si le instalamos el juego en cerciorarse de que el segundo sorteo es cabezales de decir $HH \cup TH$ va a suceder? Tenemos $\mathfrak{F_1} = (\emptyset, \Omega, (HH \cup TH), (HT \cup TT))$

$X$ no es también una "variable aleatoria en $(\Omega, \mathfrak{F_1}, P)$. No sabemos las probabilidades de todas las preimages de $X$ dada nuestra información (basado en nuestro aparejo).

Sin embargo, si dejamos $Y$ ser la variable aleatoria es igual a 1 si el resultado es $HH$ o $TH$ $0$ lo contrario, entonces tenemos:

Los resultados que se traducen en $Y = 1: (HH, TH)$

Los resultados que se traducen en $Y = 0: (HT, TT)$

$Y$ es una variable aleatoria en $(\Omega, \mathfrak{F_1}, P)$.

$\mathfrak{F_1}$ que representa la información de la asunción de nuestra aparejo será un éxito, y ya sabemos cómo el juego va a salir ya que hemos manipulado el juego para activar la cara en el segundo lanzamiento, sabemos que las probabilidades de que el preimages de Y: $P(Y = 1) = P(HH, TH) = 1$$P(Y = 0) = P(HT, TT) = 0$.

Si conocemos la probabilidad de que dos cabezas es $0.5$, luego tenemos a $(\Omega, \mathfrak{F_2}, P)$ donde $\mathfrak{F_2} = (\emptyset, \Omega, HH, HT \cup TH \cup TT)$.

$X$ es una variable aleatoria en $(\Omega, \mathfrak{F_2}, P)$.

Por supuesto, $X$ $Y$ son variables aleatorias en $(\Omega, 2^{\Omega}, P)$. Si sabemos que las probabilidades de todos los eventos posibles (todos los subconjuntos de a $\Omega$), luego de conocer todas las probabilidades de la preimages de $X$$Y$.

Pruebe esta demasiado (Aquí, $\mathfrak{F}$ siempre $= 2^{\Omega}$).

Esto también.

Answer 3

Voy a tratar de explicar en palabras muy simples:

Hallar la probabilidad de espacio significa encontrar cada posible suceso y su probabilidad.

Vamos a hacer esto con respecto a la pregunta específica en la mano:

• Evento $1$%:
  • Lanzan la moneda una vez y se cae en la cabeza
  • La probabilidad de este evento es de $\frac{1}{2}$
• Evento $2$%:
  • Lanzan la moneda de una vez y tierras en la cola
  • Lanzan la moneda de nuevo y cae en la cabeza
  • La probabilidad de este evento es de $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
• $\dots$
• Evento $k$%:
  • Lanzan la moneda $k-1$ de las veces y no cae en la cola cada vez que
  • Lanzan la moneda de nuevo y cae en la cabeza
  • La probabilidad de este evento es de $\frac{1}{2^{k-1}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k}}$
• $\dots$

Por supuesto, usted tiene un número infinito de eventos en este espacio de probabilidad.

Se puede afirmar también que la suma de las probabilidades de estos eventos es igual a $1$:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}P(\text{number of tosses}=n)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1$$