Quiero demostrar que si $S$ se compone de unidades, a continuación,$S^{-1}R \cong R$.
Me pueden decir si mi prueba es correcta?
Desde $S$ se compone de unidades, $S$ cero divisor libre y por lo tanto $f: R \to S^{-1}R$, $r \mapsto \frac{r}{1}$ es inyectiva. Así que tenemos un isomorfismo $h: R \to f(R)$.
Ahora construimos un isomorfismo $S^{-1}R \to f(R)$: Para ello podemos elegir cualquier $s_0$ $S$ y denotan por $u \in R$ su inversa, es decir,$s_0 u = us_0 = 1$. A continuación, el mapa $g_u : S^{-1}R \to f(R)$, $\frac{r}{s} \mapsto \frac{ru}{1}$ es un isomorfismo. Es inyectiva ya que si $\frac{ru}{1} = \frac{r^\prime u}{1}$ $ru = r^\prime u$ y desde $u$ es una unidad, $r = r^\prime$. Y es surjective ya que para $\frac{r}{1}$ en $f(R)$, $g(\frac{rs}{s}) = \frac{rsu}{1} = \frac{r}{1}$. Por lo tanto $R \cong f(A) \cong S^{-1}R$.
