La prueba de que no de $\sum_{n=1}^{\infty} z^{1/n}$ ' t convergen

Question

Creo que encontré una prueba de la divergencia de esta suma para cualquier valor de $z$ además de 0.

Podemos ver en la serie telescópica: $$\sum_{n=1}^{\infty}z^{1/(n+1)}-z^{1/n} = \lim_{N\rightarrow \infty} \left(z^{1/(N+1)}-z\right) = 1-z

Si la suma en el título fueron convergente, como iguales, S, entonces debemos tener:

$$S-z - S = 1-z \Rightarrow 1=0$$

Así que de este contradcition se desprende que la serie es divergente.

¿Hay algo significativo que decir sobre esta serie? ¿análisis asintótico tal vez en esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

El razonamiento en su post está basado en (y parcialmente redescubrir) el hecho de que si $x_n\to x\ne0$, entonces la serie de $\sum\limits_nx_n$ diverge.

Un acercamiento más directo a este resultado es que se nota que si $\sum\limits_nx_n$ converge, a continuación, $\sum\limits_{n\leqslant N}x_n$ $\sum\limits_{n\leqslant N-1}x_n$ ambos convergen a un mismo límite de $\ell$, por tanto, su diferencia $x_N$ converge a $\ell-\ell=0$.

En su contexto, $x_n=z^{1/n}$ por lo tanto $x_n\to x=1\ne0$ por cada $z\ne0$ por lo tanto la serie $\sum\limits_nz^{1/n}$ diverge. Asymptotics de $x_n$ al $n\to\infty$ $x_n=1+\frac1n\log z+O\left(\frac1{n^2}\right)$ por lo tanto $$\sum\limits_{1\leqslant n\leqslant N}z^{1/n}=N+\log N\cdot\log z+O(1).$$ Más precisamente, la sucesión de término general $\left(\sum\limits_{1\leqslant n\leqslant N}z^{1/n}\right)-N-\log N\cdot\log z$ converge a un límite finito.