Errores normalmente distribuidos y el teorema de límite central

Question

En Wooldridge Introductorio de la Econometría hay una cita:

El argumento que justifica la distribución normal de los errores generalmente se ejecuta algo como esto: debido a que $u$ es la suma de muchos diferentes factores no observados que afectan a $y$, podemos llamar a la central teorema del límite a la conclusión de que la $u$ tiene un aproximado de lo normal de distribución.

Esta cita se refiere a uno de los lineales de los supuestos del modelo, a saber:

$u \sim N(μ, σ^2)$

donde $u$ es el término de error en el modelo de población.

Ahora, que yo sepa, el Teorema del Límite Central establece que la distribución de

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(donde $\overline{Y_i}$ son promedios de las muestras aleatorias extraídas de una población con una media de $μ$ y la desviación estándar $σ^2$)

se aproxima a la de una normal estándar variable como $n \rightarrow \infty$.

Pregunta:

Ayúdame a entender cómo normalidad asintótica de $Z_i$ implica $u \sim N(μ, σ^2)$

Answer 1

Esto puede ser mejor apreciadas por reexpressing el resultado de CLT en términos de sumas de variables aleatorias iid. Tenemos

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Multiplicar el cociente por $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y utilice el hecho de que $Var(cX) = c^2 Var(X)$ para obtener

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Ahora agregue $\mu$ a LHS y utilice el hecho de que $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$ obtener

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Por último, se multiplica por $n$ y el uso de los dos anteriores resultados para ver que

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right) $$

¿Y esto que tiene que ver con Wooldridge la declaración? Así, si el error es la suma de muchas variables aleatorias iid , a continuación, será de aproximadamente una distribución normal, como se acaba de ver. Pero hay un problema aquí, es decir, que los factores no observados no necesariamente será idénticamente distribuidas y que podría incluso no ser independiente!

Sin embargo, la CT se ha extendido con éxito a independiente no idénticamente distribuidas variables aleatorias e incluso los casos leves de la dependencia, en virtud de algunas otras condiciones de regularidad. Estas son esencialmente las condiciones que garantizan que ningún término en la suma ejerce desproporcionada influencia en la distribución asintótica, consulte también la página de la wikipedia sobre la CLT. Usted no necesita saber de estos resultados, por supuesto; Wooldridge el objetivo es que se limita a proporcionar la intuición.

Espero que esto ayude.