Considere una $n$ -sided convexo polígono $P$ que contiene el origen en el plano complejo. Sea el $j$ -vértice se denominará $z_j = r_j e^{i\theta_j}$ ( $0 \leq \theta_j < 2 \pi$ ) para $j= 1 \dots n$ . Me interesan los valores distintos de cero de
$$ a_k(P)= \sum_{j=1}^{n} \frac{z_{j}^{k}}{|z_{j}|^{k-1}}=\sum_{j=1}^{n} r_j e^{ik\theta_j} \textrm{ for } k \geq 1.$$
Lema: Dado un número entero $m \geq 2$ si, para cada $k \geq 1$ donde $m$ no divide $k$ , $a_k(P)=0$ entonces el polígono $P$ es $m$ -rotacionalmente simétrica, es decir, una rotación de $e^{i\frac{2 \pi}{m}}$ gira el polígono sobre sí mismo.
Pseudoprueba: Reimaginar la $n$ -polígono de lados $P$ como $2 \pi$ -función periódica $f(\theta)$ del ángulo $\theta$ donde cada vértice $z_j$ se representa como una función delta de Dirac en $\theta_j$ con integral $r_j$ Eso es, $$f(\theta)=\sum_{j=1}^{n} r_j \delta (\theta - \theta_j).$$ El cálculo $a_k(P)$ es entonces sólo $2 \pi$ veces el $k$ -coeficiente de Fourier para $f(\theta)$ . Si, para todo $k$ donde $m$ no divide $k$ , $a_k(P)=0$ entonces los correspondientes coeficientes de Fourier de $f(\theta)$ son todas cero, lo que implica que $f(\theta)$ es $\frac{2 \pi}{m}$ -periódico. Por lo tanto, el polígono será $m$ -rotacionalmente simétrica. $\square$
En primer lugar, ¿hay alguna forma de demostrar este lema sin recurrir a series de Fourier no convergentes?
Entonces, en la misma línea, el lema implica que, si $P$ es no rotacionalmente simétrica, entonces para cada $m$ existen valores de $k$ que no sean múltiplos de $m$ para lo cual $a_k(P) \neq 0$ . Pero creo que es cierto mucho más, a saber, que para "casi" todos los $k$ , $a_k(P) \neq 0$ . En particular, si $k$ es el más pequeño para que $a_k(P) \neq 0$ Me gustaría demostrar que hay una $k'$ relativamente primo a $k$ para que $a_{k'}(P) \neq 0$ pero no estoy seguro de cómo enfocar la cuestión. ¿Alguna idea?
