Si una matriz de $2 \times 2$ de fila $1$ tiene un valor de cero propio

Question

«¿$A = \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$ Tiene un valor de cero propio?»

Bueno, sería una pregunta divertida si el asker no estado que quiere explicar sin computar el polinomio característico. No tengo ni idea cómo hacerlo.

Answer 1

Sabes que %#% $ #%

Si $$2 = \dim \ker A + \dim {\rm col} \ A.$, nuestra hipótesis, entonces $\dim {\rm col} \ A = 1$, por lo que tenemos no cero vectores en $\dim \ker A = 1$. Así que sí, $\ker A = \ker(A - 0 \ {\rm Id})$ es un valor propio.

Answer 2

No hay problema. Solo volver a la definición.

$Ax = \lambda x$

Encontrar un $\lambda$ y tiene un s.t. x distinto de cero lo anterior. Existen infinitamente muchos puesto que la matriz tiene un determinante cero/es singular.

Answer 3

Esta matriz tiene determinante $0$. Así que la matriz es no inversible y por lo tanto debe tener $0$ como un valor propio. (no es invertible para $A-\lambda I$ $\lambda=0$).

Answer 4

No estoy seguro de cuán verde es exactamente lo que son, pero el determinante es una manera muy fácil de determinar si una matriz tiene un autovalor 0. Para tomar el determinante este es generalmente ilustrada con la matriz que a continuación voy a llamar a M.

$M = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

Donde el Det M = ad-cb si el Det M = 0 sabemos que existe al menos un valor propio que es igual a 0. Creo que el polinomio característico hes refuring es "$A = \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

o x + 2y =0

y 2x + 4y =0

usted puede utilizar una de estas ecuaciones a resolver para x y sub en el otro ( esto es muy común grado 11/12 método que creo que hes tratando de llegar a evitar. con el polinomio característico de comentarios.)

Por último, el Primer método que probablemente iba a ser enseñado en la universidad (antes de que te gustaría aprender lo que es un determinante fue) es la fila de las operaciones en este caso $R_2 - 2R_1$ ( $R_1$ = la fila 1 de la matriz ) se obtiene la matriz de $A = \begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}$ ahora desde $R_2$ es una fila de 0 todos sabemos que tenemos un 0 autovalor. Que creo que la mayoría de segundo año de los cursos de parar y simplemente descartar esto como irresoluble?