Cálculo de una integral real mediante integración compleja

Question

$$\int^\infty_0 \frac{dx}{x^6 + 1}$$

¿Alguien sabe cómo calcular esta integral utilizando integrales complejas? No sé cómo tratar la $x^6$ en el denominador.

Answer 1

Afortunadamente el integrando es par, por lo que tenemos

$$ \int^\infty_0 \frac{dx}{x^6 + 1} = \frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty} \frac{dx}{x^6 + 1}. \tag{1} $$

Para encontrarlo, calcularemos la integral

$$ \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^6+1}, $$

donde $\Gamma_R$ es el semicírculo de radio $R$ en el semiplano superior, $C_R$ junto con el segmento de línea entre $z=-R$ y $z=R$ en el eje real.

(Imagen por cortesía de Paul Scott .)

Entonces

$$ \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^6+1} = \int_{-R}^{R} \frac{dx}{x^6+1} + \int_{C_R} \frac{dz}{z^6+1}. $$

Tenemos que demostrar que la integral sobre $C_R$ se desvanece como $R \to \infty$ . En efecto, la desigualdad del triángulo da

$$\begin{align} \left| \int_{C_R} \frac{dz}{z^6+1} \right| &\leq L(C_R) \cdot \max_{C_R} \left| \frac{1}{z^6+1} \right| \\ &\leq \frac{\pi R}{R^6 - 1}, \end{align}$$

donde $L(C_R)$ es la longitud de $C_R$ . De esto podemos concluir que

$$ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^6+1} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^6+1}. \tag{2} $$

La integral de la izquierda se evalúa por el teorema del residuo. Para $R > 1$ tenemos

$$ \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^6+1} = 2\pi i \sum_{k=0}^{2} \operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^6+1},\zeta^k \omega\right), $$

donde $\zeta$ es la raíz sexta primitiva de la unidad y $\omega = e^{i\pi/6}$ . Tenga en cuenta que esto se debe a que $\omega$ , $\zeta\omega$ y $\zeta^2 \omega$ son los únicos polos del integrando dentro de $\Gamma_R$ . La suma de los residuos se puede calcular directamente y encontramos que

$$ \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^6+1} = 2\pi i \sum_{k=0}^{2} \operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^6+1},\zeta^k \omega\right) = \frac{\pi}{3 \sin(\pi/6)} = \frac{2\pi}{3}. $$

Así, desde $(1)$ y $(2)$ concluimos que

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^6+1} = \frac{\pi}{3}. $$

En general,

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2n}+1} = \frac{\pi}{2 n \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)} $$

para $n \geq 1$ .

Answer 2

$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^6+1}=\frac{1}{2}\lim_{R\to\infty}I_R$$ donde $$I_R:=\int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^6+1}.$$ Integremos $f(z):=\frac{1}{1+z6}$ a lo largo de la curva orientada cerrada constituida por la semicircunferencia superior $C_R$ con centro $0$ y el radio $R>1$ y el intervalo $[-R,R]$ .

Aplicando el teorema del residuo obtenemos $$I_R+\int_{C_R}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^3\textrm{Res}(f;\textrm{exp}(\frac{1+2k}{6}i\pi)).\qquad(*)$$

Remarcando $\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)dz=0,$ de $(*)$ que te den tu integral.

Answer 3

Se puede dividir el denominador tomando $x^6$ como $(x^2)^3$ , y luego usar $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Después de usar esta fórmula, usted obtendrá $x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$ . Entonces puedes utilizar la descomposición parcial de la fracción.

Si todavía no lo entiendes, entonces aquí es otro método mejor en este pequeño video.