Cómo entender el producto escalar es el ángulo del coseno?

Question

Cómo puede uno ver que un producto escalar da el ángulo del coseno entre dos vectores. (asumiendo que son normalizado)

El pensamiento acerca de cómo probar esto de la manera más intuitiva resultó en la demostración de una identidad trigonométrica: $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.

Pero incluso después de probar esto con éxito, la conexión entre el y el coseno y el producto escalar no inmediatamente palo y en lugar de eso dependen de recordar que esto es válido al tomar consuelo en el hecho de que he visto la prueba en el pasado.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo ves esta conexión?

2. ¿Cómo se puede extender el concepto de producto escalar vs ángulo de mayores dimensiones - 4 y superior?

Answer 1

El producto escalar es básicamente una manera más flexible de trabajar con la norma Euclídea. Usted sabe que si usted tiene el producto escalar de a $\langle x, y \rangle$, entonces se puede definir la norma Euclídea a través de $$\lVert x\rVert = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$

Por el contrario, resulta de que puede recuperar el producto escalar de la norma Euclídea el uso de la polarización de la identidad $$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left(\lVert x + y\rVert^2 - \lVert x - y\rVert^2 \right).$$

Bueno, entonces, ¿cómo se puede ver la relación entre el producto escalar y cosenos? La clave es la ley de los cosenos, que en vector de la lengua dice que $$\lVert a - b\rVert^2 = \lVert a\rVert^2 + \lVert b\rVert^2 - 2 \lVert a\rVert \lVert b\rVert \cos \theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre el$a$$b$. Por otro lado, por bilinearity y la simetría vemos que $$\lVert a - b\rVert^2 = \langle a - b, a - b \rangle = \lVert a\rVert^2 + \lVert b\rVert^2 - 2 \langle a, b \rangle$$

por lo que se deduce que $$\langle a, b \rangle = \lVert a\rVert \lVert b\rVert \cos \theta$$

como se desee.

Cualquiera de los dos vectores en un $n$-dimensional en el espacio Euclidiano se extiende por un espacio Euclídeo de dimensión en la mayoría de las $2$, por lo que la conexión entre el producto escalar y ángulos en general, se reduce al caso de $2$ dimensiones.

Answer 2

Aquí es una manera de recordar fácilmente: se supone que uno de los dos vectores unitarios es $(1,0)$ (por una elección adecuada de coordenadas podemos suponer que estamos trabajando en $2$ dimensiones, y luego de que uno de los vectores es el estándar de la base de vectores). A continuación, el producto escalar es sólo el $x$-coordinar de la otra, que es, por definición, el coseno del ángulo entre ellos.

Answer 3

Supongamos $x,y$ son vectores unitarios y $x\cdot y=a$. Deje $w=ax$. Si podemos demostrar que $w$ es la proyección ortogonal de a$y$$x$, que lo hace, por la definición del coseno. Así es $y-w$ ortogonal a $x$? Vamos a encontrar el producto escalar: $(y-w)\cdot x = (y\cdot x) - (w\cdot x)= a = a(x\cdot x) = a-a=0$.

Answer 4

Deje $u=(a, b)$ $v=(c, d)$ dos vectores que tengan ángulos $p$, $q$ con el eje x, a continuación, $\cos p=a/\lVert u\rVert$ $\sin p=b/\lVert u\rVert$ y $\cos q=c/\lVert v\rVert$, $\sin q=d/\lVert v\rVert$ a continuación,$\cos(p-q)= (a/\lVert \rVert) (c/\lVert v\rVert)+(b/\lVert u\rVert)(d/\lVert v\rVert)$$ac+bd=\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\cos(p-q$), a continuación, $\langle u, v\rangle = \lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos(p-q)$