minimizar

Question

Mientras que la solución de Doctorado de los exámenes de la entrada me he encontrado con el siguiente problema:

Minimizar la función de $f(x)=- \sum_{i=1}^n \ln(\alpha_i +x_i)$ fijos $\alpha_i >0$ bajo las condiciones de: $\sum_{i=1}^n x_i =1$$x_i \ge0$.

Yo estaba tratando de usar multiplicadores de KKT generalizado multiplicadores de Lagrange, a pesar de que tengo algunas dificultades, es decir, vamos a obtener el siguiente sistema de condiciones:

$$\frac{1}{\alpha_i + x_i}=-\mu_i + \lambda$$ $$\sum_{i=1}^n x_i = 1$$ $$\mu_i x_i =0$$ $$\mu_i \ge 0$$ $$x_i \ge 0.$$ I can't even show it always has a solution not saying about giving explicit solution in terms of $\alpha_i$ (one can determine $x_i$'s from first and plug into second and third yet then we have to guess which $\mu_i$'s will be $0$), el cual será profundamente depende de lo que ellos son. Mi segunda duda es que se vea a la complicada como para el examen de admisión, así que quizás uno lo ve de una manera más fácil - más inteligente solución?

Answer 1

Deje que

$$f(x) := - \sum_{i=1}^n \ln(\alpha_i +x_i) = - \ln\left(\prod_{i=1}^n \alpha_i + x_i\right)$$

sea la función objetivo. Usando la desigualdad de AM-GM,

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \alpha_i + x_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \alpha_i + \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{i=1}^n x_i}_{=1} \geq \left(\prod_{i=1}^n \alpha_i + x_i\right)^{\frac{1}{n}}$$

Por lo tanto,

$$\left[ \frac{1}{n} \left(1 + \sum_{i=1}^n \alpha_i \right)\right]^n \geq \prod_{i=1}^n \alpha_i + x_i$$

Como el logaritmo es Monótonamente creciente,

$$n \cdot \ln\left( \dfrac{1 + \sum_{i=1}^n \alpha_i}{n}\right) \geq \ln \left(\prod_{i=1}^n \alpha_i + x_i\right)$$

Invertir el signo,

$$-n \cdot \ln\left( \dfrac{1 + \sum_{i=1}^n \alpha_i}{n}\right) \leq -\ln \left(\prod_{i=1}^n \alpha_i + x_i\right) = f (x)$$

Por lo tanto,

$$f (x) \geq n \cdot \ln (n) -n \cdot \ln\left( 1 + \sum_{i=1}^n \alpha_i\right)$$