¿Debe tener un subconjunto incontable de R uncountably muchos puntos de acumulación?

Question

Esta pregunta es tomado de problema 4.1.8 de "Análisis Real y Fundaciones" por Krantz

Lee la pregunta:

"Vamos a ser un incontable subconjunto de $\mathbb{R}$. Probar que S debe haber una infinidad de acumulación de puntos. Debe haber una cantidad no numerable?"

La primera parte de la pregunta tomó algo de trabajo, pero terminó saliendo bastante bien; sin embargo, estoy en una pérdida completa de cómo abordar el segundo problema. Intuitivamente, creo que la respuesta es sí.

Mi primer intento fue el de tratar de demostrar que una contables de número de la acumulación de puntos que permiten a uno para ordenar los elementos de S de tal manera que ellos son contables (es decir, demostrar el contrapositivo), pero no pude conseguir mucho más que eso.

Mi segundo intento fue para mostrar que $S-{s_{1},s_{2}...}$ donde $s_{1},s_{2},...$ son countably muchos de acumulación de puntos de S es incontable y por lo tanto debe tener un punto de acumulación, de modo que la S tiene un punto de acumulación que no es uno de los countably conjunto infinito. Por lo tanto, el número de la acumulación de puntos es incontable.

Mi pregunta es, es esta lógica válida? Yo tendría que demostrar que una multitud innumerable menos una contables conjunto es incontable, que no debería ser demasiado difícil.

Cualquier sugerencias/puntos en la dirección correcta/descaradas respuestas son muy apreciados.

Answer 1

Sea $T$ el conjunto de elementos de $S$ que no son puntos de acumulación de $S$. Entonces cada $x \in T$ allí existe $\epsilon > 0$ tal que el intervalo de $I(x,\epsilon) = (x-\epsilon,x+\epsilon)$ no contiene otros puntos de $S$. El % de intervalos $\{I(x,\epsilon/2) | x\in T\}$son separados y cada uno contiene un número racional; tan sólo puede ser un número contable de ellos.

Por lo tanto es contable $T$, y el conjunto de puntos de acumulación de $S$, que contiene $S-T$, es incontable.

Answer 2

Asumir un número finito de puntos de acumulación para $S$ significa que los elementos de $S$ que no son puntos de acumulación son aislados, significado $S$ es a lo más contable, una contradicción.

Suponiendo un número contable de acumulación puntos produce el mismo problema. Los elementos de $S$ que no son puntos de acumulación sería aislados, y todavía tiene que $S$ en la mayoría es una Unión de dos sistemas contables es contable, una contradicción.

Answer 3

Yo creo que ambos TonyK y Darrin respuestas son buenas. He aquí otra, posiblemente inferior, enfoque.

Primera confiar en el siguiente lema: para cualquier multitud innumerable $S$ de los números reales, existe un intervalo de $(a,b)$ tanto $S\cap(-\infty,a]$ $S\cap[b,\infty)$ son innumerables. ("Puede dividir una multitud innumerable en dos con un búfer de intervalo.")

Dado el lema, se pueden encontrar dos innumerables subconjuntos $S_1,S_2$ $S$ que están separados por un intervalo. La iteración, usted puede encontrar cuatro innumerables subconjuntos de a $S$ todos separados uno de otro por intervalos, a continuación, 8, 16, etc. Hay una cantidad no numerable de ramas hacia abajo, esto se repite-bifurcación del árbol; cada uno de ellos resulta en una acumulación de punto; y la acumulación de puntos pueden no coincidir debido a la separación de los intervalos. Por lo tanto, hay una cantidad no numerable de acumulación de puntos.

¿Por qué es el lema verdad? Suponga $S$ está contenido en $[0,3]$ (una forma fácil de reducción), y considerar las intersecciones de $S$ con $[0,1]$, $[1,2]$, y $[2,3]$. Si la primera y la tercera las intersecciones son innumerables, entonces hemos terminado. De lo contrario, tenemos una multitud innumerable en un intervalo menor (quizás longitud 1, tal vez longitud 2) y dividimos el intervalo en tres pedazos iguales. Podemos seguir haciendo esto hasta que nos encontramos con la primera y la última de las intersecciones incontable (en cuyo caso estamos haciendo), o de lo contrario nos recorrer countably a menudo y acabar con todos los contables subconjuntos contenida en una secuencia anidada de intervalos cerrados cuyas longitudes tienden a $0$. Pero este último caso no puede ocurrir, porque entonces se ha escrito en $S$ como una contables de la unión de conjuntos contables, junto con el único punto en la intersección de los intervalos anidados, contradiciendo la uncountability de $S$.