¿Álgebras de Hochschild/cíclico homología de von Neumann: inútil?

Question

Homología de Hochschild da invariantes de (unital) $k$-álgebras de $k$ un unital, anillo conmutativo. Si dejamos que nuestra álgebra $A$ ser el anillo de grupo $k[G]$ $G$ un grupo finito, tenemos grupo de homología. Hay un montón de otras conexiones de álgebra homológica. Si utilizamos homología cíclica, hay conexiones a la geometría y la topología que implican la Chern carácter.

Álgebras de Von Neumann son complejos álgebras, por lo que pueden llevar a sus Hochschild y cíclico de homologías. Cuando he preguntado a los expertos en los campos de álgebras de von Neumann y la geometría no conmutativa acerca de lo que se obtiene, generalmente oigo una aproximación de lo siguiente: "también Hay análisis en álgebras de von Neumann, así que yo no esperaría un algebraicas invariantes como Hochschild o cíclica de homología a decir algo útil."

Aunque esta respuesta tiene algún sentido, me parece muy desagradable y críptico. ¿Por qué no te dice algo? Hay alguna manera para hacer de "no decir nada" cuantitativa? Hay un ejemplo de un álgebra de von Neumann con trivial Hochschild o cíclica de homología (diferente de la de los números complejos)?

EDIT: Después de la lectura de las respuestas hasta ahora, debo especificar que realmente quiero saber si hay un $II_1$-factor no trivial de Hochschild o cíclica (co)homología.

Answer 1

La pregunta no está bien planteada. Hay varias versiones de la teoría (por ejemplo) que varían de acuerdo a la continuidad de las condiciones que se supone. En Connes' original IES los documentos que él se ocupa de fabricación tanto discreta (útil para arbitrario de los anillos) y topológicas (útil en el $C^\infty $-ajuste).

El problema básico es que la teoría cíclica es muy muy sensible. Considere el siguiente ejemplo (usando Connes' topológico cíclica de la teoría.) Supongamos que M denotar un compacto liso colector con un suave foliación. A continuación hay tres álgebras de operadores que se pueden asociar con la situación;

a) $C(M)$, $C^\ast$- álgebra de complejo continuo de las funciones de $M$.

b) $C^\infty (M)$, el suave funciones en $M$.

c) $C_\tau ^\infty (M)$, las funciones continuas en $M$ que son suaves en la hoja de instrucciones.

El cíclico cohomology de estos tres anillos son todos diferentes, normalmente (por ejemplo, para el flujo de Kronecker sobre el toro).

a) conduce a medidas en $M$;

b) conduce a deRham cohomology en $M$;

c) conduce a la "tangencial cohomology" en la $M$ (cf. mi libro con Cal Moore).

Espero que esto ayude.

CS

Answer 2

Esto es en respuesta a Dmitri comentario. La razón por la que no aparezca Sinclair & Smith, el libro (que es donde empecé tratando de aprender Hochschild cohomology) es que se trata de continuo cochains con coeficientes en el álgebra. Entendí DP original de la pregunta como ser puramente algebraica cíclico cohomology, lo que implica no-necesariamente continua cochains tomando valores en el doble de la de álgebra (no el álgebra). Espero que esto se refiere a su "sorpresa". FWIW, estoy más interesado en el Sinclair & Smith configuración de mí, pero yo no creo que eso es lo que DP estaba preguntando acerca - aunque puede haber entendido mal.

Y sí, todavía hay ningún ejemplo de un álgebra de von Neumann M para el que H^n(M,M) es distinto de cero para algún n > 1; mientras que la desaparición o no de H^2(L(F_2),L(F_2)) es aún desconocido...

Answer 3

Hay un trabajo importante por Alain Connes y Dimitri Shlyakhtenko (ver aquí). Ellos vienen con una definición de $\ell^2$-homología para finito de álgebras de von Neumann y definir invariantes numéricos llama $\ell^2$-Betti números finitos álgebras de von Neumann. Este enfoque se basa en la más clásica de la teoría de $\ell^2$-invariantes desarrollado por Atiyah, Cheeger-Gromov y también Lück. Hasta el momento, no hay realmente interesante cálculos.

Sin embargo, parece que este grupo de homología (o alguna variante de la misma) es más probable para ser capaz de detectar las diferencias entre el grupo de free factores. Por supuesto, esto es sólo especulación. También hay un cohomological imagen (ver aquí), que se reduce (en dimensión uno) para un estudio de derivaciones con valores en el álgebra de operadores afiliados. Por desgracia, esta más algebraicas enfoque no ha sido muy exitosa hasta el momento.

Answer 4

Como alguien que trabaja en la continua (limitado) cohomology de álgebras de Banach: creo que la cita es una manera de decir "no sabemos". Sin duda hay preguntas que empiezan con extra de continuidad/acotamiento de los requisitos para ser rephraseable en la "puramente algebraica" módulo de categorías - L^2 cohomology de grupos discretos es uno, si no recuerdo mal, Farber y Lueck han escrito acerca de esto.

Estoy preparado para creer lo que se dice sobre algebraica de los módulos a través de II_1 factores, aunque me preocupa sospecha de que uno tiene que trabajar con los módulos a través de un desagradable álgebra. Es este el caso?

Si desea calcular Hochschild cohomology (con coeficientes en el álgebra, supongo que te refieres) es duro. No es fácil encontrar bien definido proyectiva resoluciones de Banach objetos (si se pasa a algunos densa subalgebra o submódulo, a continuación, más herramientas están disponibles, este parece ser el enfoque adoptado en gran parte de NCG a la Restricción).

De hecho, dado un no inyectiva von Neumann álgebra M (algo así como un grupo de free factor va a hacer) entonces existe un M-bimodule X, que es un espacio de Banach y en la que M actúa continuamente, y un continuo derivación M --> X que no es interior. Qué tipo de respuestas a su pregunta, aunque probablemente no en el sentido de que significaba...

Si se restringe el módulo de categorías, a continuación, hay toda una teoría de la Tor y Ext de Banach módulos, debido a Helemskii - a pesar de que sólo funciona en una relativamente pequeña clase de corta duración exacta de las secuencias. Sin embargo, para álgebras de von Neumann cosas son aún más difíciles (véase el trabajo de Christensen, Sinclair, Smith y otros).

Answer 5

Algunas reflexiones: los resultados más llamativos que yo sepa en "puramente algebraica cíclico/homología de Hochschild" son debido a la Wodzicki, ver p.ej.

Homológica propiedades de los anillos de funcional analítica tipo, los Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos 87 (1990), 4910-4911

que los estados de la estabilidad de la C*-álgebras de tener trivial cíclico de homología. Obviamente, esto no responde a su II_1 factor de pregunta...

También: su observación de que en algunos casos, se puede omitir el análisis y hacer la situación un poco más simple que me confunde un poco. Para llegar a ninguna parte con cíclico o homología de Hochschild, necesitamos hacer algún tipo de comparación de las resoluciones, o la construcción de contratación homotopies, o algo así. Mi intuición - pero yo no trabajo mucho en las álgebras de operadores, así que bien podría estar equivocado - es que un álgebra de von Neumann es un gran objeto que normalmente sólo se puede conseguir una manija en ella mirando adecuado subconjuntos que generar su unidad de pelota en el WOT/SOT. Así que para el grupo de álgebras de von Neumann, uno trata de ver lo que está pasando por traducciones, y de allí deducir más general de los resultados mediante la explotación de w*-w* continuidad; o bien el uso de proyecciones y de la aproximación de los argumentos. Si vamos a una puramente algebraica categoría, entonces no es suficiente para definir las cosas en subconjuntos densos - lo que uno realmente necesita una definición global, lo que uno realmente necesita para comprobar que ciertas putativo identidades son satisfechos por cada elemento del álgebra de von Neumann.

Lo siento si es un poco waffly. Creo que mi punto es que la imposición de la continuidad restricciones en realidad hace las cosas más fácil, porque - intuitivamente - más que las cosas van a ser proyectiva/inyectiva/plano en relación a una clase restringida de corto exacta de las secuencias. Esta es la razón, por ejemplo, sabemos que $H^n_{cb}(M,M)=0$ para cualquier álgebra de von Neumann M, pero ¿por qué el análogo demanda, sin la 'cb' está abierto y agotador. En una vena similar, si usted trabaja en una categoría restringida, a continuación, uno en efecto, obtener algunos casos conocidos de homológica no trivialidad (aunque a nivel de módulos, no en el nivel de homología cíclica):

M. E. Polyakov, Un Ejemplo de un espacio Nonflat Álgebra de von Neumann

Debo decir también que el módulo de Hilbert cosas que usted menciona realmente no se conecte a tu pregunta original sobre cíclico (co)homología. Es interesante, y creo que se ha hecho más, pero es diferente - así que si es eso lo que te interesa, cíclico y la homología de Hochschild puede ser algo de una distracción.