Una función tiene que ser continuamente diferenciable que ser integrable

Question

¿Es el único requisito para una función sea integrable para que sea continua en todo intervalo especificado como $[a,b]$?

La función $f(x)$ que estoy hablando está en el integrando y el % de asignación $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$$\int_a^b \! f(x) \, dx$$

¿Y para las funciones complejas?

Answer 1

Integrabilidad es una condición muy débil con respecto a la continuidad/differentiability. Por ejemplo, consideremos la siguiente función $f : [0,1] \to \mathbb{R}$: $$ f (x) =\begin{cases} \frac{1}{q}, &\text{if }x > 0\text{ is rational and }x = \frac{p}{q}\text{ in lowest terms} \\ 0, &\text{otherwise.} \end{casos} $$ usted puede demostrar que esta función es continua solo en irrationals (y es derecho continua en $x=0$). Se deduce que el % no es continua en cualquier intervalo nondegenerate $f$ $[a,b]$. Sin embargo la función es (Riemann) integrable, con $\int_{0}^1 f(x) dx = 0$.

Answer 2

Una función incluso debe ser continua para ser integrable. Considerar la función de paso $f(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0\\ 1 & x > 0 \end{cases}$. No es continua, pero obviamente integrable para cada intervalo de $[a,b]$. Lo mismo se aplica para funciones complejas.

Tenga en cuenta que muchos teoremas sobre integración serán, de hecho, requieren condiciones más fuerte en $f$.

Answer 3

Es un teorema que una función es Riemann integrable si y solamente si es limitada y su sistema de discontinuidades tiene Lebesgue medida cero.

Answer 4

Si usted permite la integración de Lebesgue, entonces la condición es aún más débil. Por ejemplo, considere la función $f(x) = 0$ si $x$ es racional, $f(x)=1$ es $x$ racional. Esto es continuo en ninguna parte pero integrable.