Prueba de Epsilon-delta de $\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}{2}$

Question

He estado haciendo $\varepsilon$-$\delta$ pruebas para la diversión y me propuse probar $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}{2},\quad a,b\in\mathbb{R}$$

La definición dice: se dice que $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=l$ si para cualquier número positivo $\varepsilon$ podemos encontrar un número positivo $N$ (dependiendo $\varepsilon$ en general) tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ siempre $x>N$.

Así que empecé con: $\left|\sqrt{(x+a)(x+b)}-x-\dfrac{a+b}{2}\right|<\varepsilon$ siempre $x>N$.

La manipulación de la primera inequatlity

\begin{gather*} -\varepsilon<\sqrt{(x+a)(x+b)}-x-\dfrac{a+b}{2}<\varepsilon\\ -\varepsilon+\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{(x+a)(x+b)}-x<\varepsilon+\frac{a+b}{2} \end{reunir*}

En este punto pensé acerca de la adición de $x$, ajustando las expresiones y luego la expansión. Yo lo hice y me dieron: $$\frac{a^2}{4}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}+ax+bx+x^2-a\varepsilon-b\varepsilon-2x\varepsilon+\varepsilon^2<x^2+ax+bx+ab<\frac{a^2}{4}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}+ax+bx+x^2+a\varepsilon+b\varepsilon+2x\varepsilon+\varepsilon^2$$

Y aquí no estoy seguro de cómo proceder. Estoy en el camino correcto?

Gracias por la ayuda / sugerencias.

Nota: No puede haber otras formas para probar esto, pero me gustaría hacerlo usando sólo el álgebra, si es posible, incluso si no es el mejor método.

Answer 1

Esto no es una prueba de delta epsilon, pero aquí va:

$$\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)= x(\sqrt{(1+\frac{a}{x})(1+\frac{b}{x})}-1) = x(f(x) -1)$$

expandir $g(z) := f(\frac{1}{x})$ alrededor de $z=0$: $g(z) = 1 + \frac{a+b}{2}z +\mathcal{O}(z^2)$ consiguiente

$$ x(f(x) -1) = x(1 + \frac{a+b}{2}\frac{1}{x} + \mathcal{O}(\frac{1}{x^2}) -1) = \frac{a+b}{2} + \mathcal{O}(\frac{1}{x}) \overset{x\rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{a+b}{2} $$

OK ahora leí tu nota. Por favor no bajar voto porque soy incapaz de leer los mensajes hasta el final :)

Answer 2

$$\lim_{x\to\infty}\sqrt{(x+a)(x+b)} - x - \frac {a + b} 2\\ = \lim_{x\to\infty}\frac{(x+a)(x+b)-(x+\frac{a+b}2)^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x+\frac{a+b}2}$$

Answer 3

La "racionalización" truco son los mismos, pero este puede ser el riguroso $\varepsilon$-$\delta$ la prueba de que usted desee.

Escribir $$\sqrt{(x + a)(x + b)} - x - \frac{a + b}{2} = \frac{(x + a)(x + b) - \left(x + \frac{a + b}{2}\right)^2}{\sqrt{(x + a)(x + b)} + \left(x + \frac{a + b}{2}\right)} = \frac{-\frac{(a - b)^2}{4}}{\sqrt{(x + a)(x + b)} + \left(x + \frac{a + b}{2}\right)}.$$

Por lo tanto, $$ \left|\sqrt{(x + a)(x + b)} - x - \frac{a + b}{2}\right| = \frac{C}{\sqrt{(x + a)(x + b)} + \left(x + \frac{a + b}{2}\right)} < \frac{C}{x + \frac{a + b}{2}} \etiqueta{1} $$ donde $C = \dfrac{(a - b)^2}{4} \geq 0$, ten en cuenta que el denominador es positivo cuando se $x$ es lo suficientemente grande (por ejemplo, $x > -(a + b)/2$) por lo que el valor absoluto símbolo puede ser eliminado. Dado $\varepsilon > 0$, tome $\delta = \max\left(\dfrac{C}{\varepsilon} - \dfrac{a + b}{2}, 1\right) > 0$, luego sigue por $(1)$ que para todos los $x > \delta$, $$\left|\sqrt{(x + a)(x + b)} - x - \frac{a + b}{2}\right| < \varepsilon.$$

Answer 4

El problema es que el $\epsilon$-método requiere que el resultado del límite...

Un "look-alike" método sin saber el resultado del límite...

Dado $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{ ( x + a ) ( x + b ) } x \right). $$

Vamos $$ \sqrt{ ( x + a ) ( x + b ) } - x = \ell. $$

Reescribir esto como $$ ( x + a ) ( x + b ) = ( x + \ell)^2. $$

Así $$ x^2 + ( a + b ) x + a b = x^2 + 2 \ell x + \ell^2, $$

o $$ ( a + b - 2 \ell ) x = \ell^2 - b. $$

Por lo que podemos encontrar $x$ para un determinado $\ell$, el uso de $$ x = \frac{ \ell^2 - b }{ a + b - 2 \ell }, $$ y para el límite, nos encontramos con $x \rightarrow \infty$.

Vemos claramente que $$ \lim_{\ell \rightarrow \frac{a+b}{2}} x = \lim_{\ell \rightarrow \frac{a+b}{2}} \frac{ \ell^2 - b }{ a + b - 2 \ell } = \infty, $$

en consecuencia, obtenemos

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{ ( x + a ) ( x + b ) } x \right) = \frac{a+b}{2}. $$