Subgrupos de libre abelian grupos son gratis: una topológico de la prueba?

Question

Hay un conocido topológica de la prueba del hecho de que los subgrupos de libre grupos son gratis. Muchas personas, incluido yo mismo, creo que es más fácil y más natural que el puramente algebraica de las pruebas que se habían dado anteriormente por (IIRC) Nielsen y Schreier. Se va como sigue:

1) Si S es un conjunto, entonces el CW-complejo de X obtenido como la cuña de #S de los círculos es un gráfico cuyo grupo fundamental es isomorfo a F(S), el grupo libre en S.

2) Si H es un subgrupo de F(S), entonces por cubrir el espacio de la teoría de H es el grupo fundamental de una cubierta de espacio Y de X.

3) cubrir el espacio de cualquier gráfico es de nuevo un gráfico.

4) Cualquier gráfica tiene la homotopy tipo de cuña, de círculos, de modo que el fundmamental grupo de Y es de nuevo libre.

Mi pregunta es: ¿en qué medida existe un análogo de la prueba del resultado con "libre" se sustituye por todas partes "libre abelian"?

En el caso de un finitely libres generados por el grupo abelian -- decir G \cong Z^n-existe al menos una evidente topológica de la interpretación. Es decir, podemos tomar X a la n-toro (producto de n copias de S^1), y, a continuación, observe que cualquier cubrir el espacio de un toro se homeomórficos a un toro de dimensión d de la cruz un espacio Euclídeo de dimensión n-d, por lo tanto homotopy equivalente a un toro de rango d <= n.

Incluso en este caso, aunque me gustaría algún tipo de garantía de que la prueba de este topológico hecho de no utilizar el algebraicas hecho de que estamos tratando de probar. (Es, por ejemplo, algunos conceptos básicos de la teoría de la Mentira relevante aquí?)

Entonces, ¿qué sucede si el grupo ha arbitraria de rango? Podemos tomar X para ser un directo límite a más de una familia de finito-dimensional tori? ¿La prueba?

Answer 1

El "libre" el grupo de la prueba recae en demostrar que el grupo fundamental de un gráfico es libre. Para el analógica tendríamos que esencialmente demostrar que el grupo fundamental de un "toro" (algo que se parece a un cociente de un espacio vectorial por un subgrupo discreto) es gratis abelian. Un boceto:

Dado un espacio vectorial real V, se puede poner la directa límite de la topología en él (así que los subconjuntos cerrado si y sólo si su intersección con cualquier finito dimensionales subespacio cerrado). Este es un contráctiles topológico grupo.

Si a es libre de abelian grupo, entonces a es un subgrupo discreto de los asociados espacio vectorial real (ℝ ⊗ A) y el cociente espacio fundamental del grupo A. Cualquier cubrir el espacio es un cociente de (ℝ ⊗ A) por una discreta en el subgrupo B de A.

Así que la pregunta se reduce a mostrar: Cualquier subgrupo discreto de un espacio vectorial (con la directa límite de topología) es gratis abelian.

Digamos que un parcial de base es un conjunto S de elementos de B tal que

• S es linealmente independiente, y
• S genera B ∩ Periodo(S).

A continuación, parcial bases de un orden parcial en virtud de la contención, y el lema de Zorn implica que existe un elemento maximal S. me afirmación de que S es una base de B como un grupo abelian.

S es linealmente independiente, por construcción, por lo que genera un libre abelian grupo, y por lo tanto no es suficiente para mostrar que genera todos los de B. Si b en B no está en S, entonces no está en el Intervalo(S). Sea S' (S ∪ {b}). A continuación, Span(S')/Span(S) es una 1-dimensional espacio vectorial y la imagen de B ∩ Span(S') debe ser discreto, porque de lo contrario Span(S'), contienen un elemento (rb + v) de v en el Intervalo(S) que se pueden utilizar para generar un no-discretas subconjunto de B. (Si v es una combinación de w₁...w_n en S, a continuación, basta para comprobar que cualquier subgrupo de lo finito-dimensional espacio Span(w₁...w_n,b) que requieren más de n generadores es indiscreta.)

Por lo tanto, cualquier elevación de un generador de B ∩ Span(S') se extiende a una mayor generación de conjunto, contradiciendo maximality.

(Mis disculpas por el comentario de la última noche, que esta mañana se ve snarkier de lo que pensaba. Yo soy un fan de la utilización de este topológico razonamiento gratis grupos de mí mismo, porque fraccionando la prueba en mucho más comprensible piezas. En particular, no creo que realmente me gustaría entender puramente algebraica prueba de que un índice n subgrupo de un grupo libre en m generadores es gratis nm - n + 1 generadores.)

Answer 2

Un punto obvio, pero espero que valga la pena. La libre grupo de la prueba recae en el hecho de que los gráficos pueden ser caracterizados a nivel local. Como tori no puede ser caracterizada a nivel local por su topología, no hay esperanza de una verdadera análoga prueba gratis abelian los grupos a través de tori.

Answer 3

Para una puramente topológica de la prueba de la afirmación "Cada subgrupo de libre abelian grupo es libre de abelian.", ¿por qué no continuar con el uso de una cuña de círculos, pero el uso de la primera homología simplicial y el teorema de Hurewicz? Si usted toma "libre abelian" para significar "un directo de límite finito de rango libre de abelian", parece deducirse de la declaración sobre la libertad de los grupos.