Prueba directa de que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto

Question

Hace poco terminé mi primer curso de matemáticas puras pero con cierta intriga sobre algunas demostraciones de definiciones por contradicción y contrapositiva pero no demostraciones directas (la existencia de infinitos primos por ejemplo), creo que la mayoría porque la demostración directa se aleja de un primer curso de matemáticas o las demostraciones por contradicción/contrapositiva son más didácticas. La que más me molesta en particular es la demostración de que el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, y es único. Entiendo la unicidad y entiendo la demostración por contradicción:

"Supongamos $\emptyset \subsetneq A$ donde $A$ es un conjunto. Entonces existe un elemento $x \in \emptyset$ tal que $x \notin A$ lo cual es absurdo porque $\emptyset$ no tiene elementos por definición".

pero me gustaría saber si existe una prueba directa de esto y si efectivamente se extiende desde un primer curso. Gracias de antemano.

Answer 1

Para cualquier $B\subseteq A$ tenemos $A\setminus B\subseteq A$ . Así que $A\setminus A=\varnothing\subseteq A$ .

(Esta prueba opera a un nivel de abstracción ligeramente superior al de verificar la definición de $\varnothing\subseteq A$ . Dado que la definición es tan fácil de verificar, puede que pienses que es una tontería adoptar una estrategia diferente. Si es así, es justo).

Answer 2

Hay una prueba directa, si sabes lo que es una verdad vacua. Pero el problema es que cuando uno ve esta afirmación $\varnothing\subseteq A$ suele ser antes de comprender del todo los argumentos vacuos. Así que es un poco más instructivo dar primero una prueba por contradicción, y luego discutir los argumentos vacuos. Al menos desde mi experiencia enseñando este argumento.

La prueba es sencilla. Verificamos que $\forall x\in\varnothing$ sostiene que $x\in A$ . Sin embargo, dado que $\forall x(x\notin\varnothing)$ el argumento es vacío. Y hemos terminado.

Answer 3

Sí, hay una prueba directa:

La forma en que demostramos que un conjunto $A$ es un subconjunto de un conjunto $B$ es decir $A \subseteq B$ es que demostramos que todos los elementos de $A$ también están en $B$ es decir $\forall a \in A, a\in B$ .

Así que queremos demostrar que $\emptyset \subseteq A$ . Así que considera todos los elementos del conjunto vacío. No hay ninguno. Por lo tanto, la afirmación de que están en $A$ es vacuamente cierto: $\forall x \in \emptyset, x \in A$ . Así que $\emptyset \subseteq A$ .

Answer 4

He aquí otra demostración directa, más calculable, en la que utilizamos primero las definiciones y propiedades básicas de $\;\emptyset,\subseteq\;$ y luego simplificar utilizando la lógica de predicados: \begin{align} & \emptyset \subseteq A \\ \equiv & \qquad\text{"definition of $\;\subseteq\;$"} \\ & \langle \forall x :: x \in \emptyset \Rightarrow x \in A \rangle \\ \equiv & \qquad\text{"basic property of $\;\emptyset\;$"} \\ & \langle \forall x :: \text{false} \Rightarrow x \in A \rangle \\ (*) \quad \equiv & \qquad\text{"logic: false implies anything"} \\ & \langle \forall x :: \text{true} \rangle \\ \equiv & \qquad\text{"logic: leave out unused quantified variable"} \\ & \text{true} \\ \end{align} Obsérvese cómo los últimos pasos son en realidad una prueba más detallada del principio de "verdad vacua", tal como se utilizó en respuestas anteriores.

Si desea más detalles sobre el tercer paso $(*)$ : \begin{align} & \text{false} \Rightarrow P \\ \equiv & \qquad\text{"rewrite"} \\ & \lnot \text{false} \lor P \\ \equiv & \qquad\text{"simplify"} \\ & \text{true} \lor P \\ \equiv & \qquad\text{"simplify"} \\ & \text{true} \\ \end{align}

Answer 5

Otra forma de ver las pruebas vacuas. Utiliza el principio lógico de que cualquier cosa se sigue de una falsedad (la regla del consecuente arbitrario): $$P\implies[\neg P \implies Q]$$

Su prueba:

1. $\forall a: \neg a\in \emptyset$ (por definición, es mejor utilizar $\neg$ que $\notin$ en este caso)

2. Sea $S$ sea un conjunto cualquiera.

3. Supongamos que $x\in \emptyset$

4. $\neg x\in \emptyset$ (de 1)

5. $\neg\neg x\in \emptyset\implies x\in S$ (regla del consecuente arbitrario aplicada a 4)

6. $x\in \emptyset\implies x\in S$ (de 5)

7. $x\in S$ (de 3 y 6)

8. $x\in \emptyset \implies x\in S$ (conclusión de 3 y 7)

9. $\forall a:[a\in\emptyset\implies a\in S]$ (generalizando a partir de 8)

Sí, las líneas 6 y 8 parecen iguales, pero desempeñan papeles diferentes en la prueba. No podemos generalizar inmediatamente en la línea 6.