Representación de indistinción en mecánicos del quántum

Question

Me preguntaba que si las partículas son indistinguibles en la mecánica cuántica, entonces ¿por qué todavía expresar sus estados de $\left| \uparrow \downarrow \right\rangle$, con el significado de la partícula 1 (en la primera posición) en estado de "arriba" y la partícula 2 (en la segunda posición) en estado de "abajo", por lo que este es un estado diferente a $\left| \downarrow \uparrow \right\rangle$. A continuación, vamos a construir una combinación lineal que es simétrica y así sucesivamente. Pero estamos diciendo es simétrico bajo intercambio de partículas 1 y 2.

¿Por qué no nos limitamos a hablar de dos partículas, ¿por qué tenemos que darles las etiquetas, incluso si ellos no afectan la medición? ¿Por qué no $\left| \uparrow \downarrow \right\rangle$ $\left| \downarrow \uparrow \right\rangle$ en el mismo estado? Seguramente, si de verdad son indistinguibles, las etiquetas son simplemente una redundancia. ¿Hay alguna razón matemática detrás de esto, o es que hay una profunda razón física?

Answer 1

Me parece que este es, básicamente, una cuestión de la forma

"¿Por qué se utiliza el modelo de lo que hacemos por las mismas partículas en la mecánica cuántica, que se opone a otro?"

para que la mejor y la última respuesta es

"Debido a que el modelo nunca ha estado en desacuerdo con el experimento,"

pero tal vez me puede convencer de que hay situaciones en las que las utilizadas producto tensor formalismo + simetrización (o anti-simetrización) es natural.

Considere un sistema de dos electrones, uno atrapado en una caja en la Tierra, y el otro atrapado en una caja en Alfa Centauri.

Estas dos partículas son sin duda idénticas; todos los electrones son, pero son distinguibles en el sentido de que, dado que cada uno de ellos está atrapado en una caja, que podemos llamar el electrón en la Tierra la caja de electrones 1, y podemos llamar a los electrones en el sistema Alpha Centauri cuadro de electrones 2, y nosotros no nos confundimos. (Ver ¿cuáles son las diferencias entre indistinguibles e idénticos? )

Creo que estás de acuerdo en que en este caso, tiene sentido completo (y es importante) para distinguir entre los estados de spin de cada electrón por escrito producto tensor estados como $|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle$, porque cuando uno hace una medición de la vuelta de estado de sistema, uno se podría preguntar una pregunta como

"después de un giro de medición, fue la Tierra de electrones en el giro de estado o el giro hacia abajo de estado?"

Así vemos que, en ciertos casos, de hecho hay una necesidad de tener un formalizm que distingue entre partículas idénticas para reproducir el tipo de individuo subsistema de medidas que a uno le gustaría.

Ahora bien, si había dos electrones en un solo cuadro, entonces, por supuesto, uno no puede distinguir entre los electrones de la misma manera, pero si los electrones son, por ejemplo, que se supone que no interactúan, entonces la física de giro de las mediciones en este caso es precisamente el mismo, así que tiene sentido usar el mismo modelo. Usted podría, por supuesto, tratar de inventar otro modelo que reproduce las predicciones del tensor de modelo del producto, pero, ¿por qué cuando tenemos uno que ya ha espectaculares acuerdo con el experimento?

Answer 2

Me preguntaba que si las partículas son indistinguibles en la mecánica cuántica ... ¿por Qué no nos limitamos a hablar de dos partículas, ¿por qué tenemos que darles las etiquetas, incluso si ellos no afectan la medición?

Vamos a recordar lo que este indistinguishability significa en la práctica: con el fin de obtener un buen acuerdo de los cálculos de las propiedades atómicas como la línea de emisión de frecuencias con los experimentos, Hamilton funciones propias son necesarios (que no son necesarias, pero que hacer el cálculo manejable). Resulta que el común de los atómica Hamiltonianos tienen tales propiedades (que son reales y simétricos...) que sus funciones propias son, ya sea simétrica o antisimétrica con respecto al intercambio de dos partículas de coordenadas.

Fue encontrado por la comparación de las mediciones que para los electrones, antisimétrica las funciones de onda de los electrones $\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$ debe ser utilizado.

Ahora, ¿dónde está indistinguishability en que? Se encuentra en el hecho de que únicamente a partir de una función de onda antisimétrica $\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$, no podemos decir cualquier diferencia en las propiedades o el comportamiento de la partícula 1 de la partícula 2; la densidad de probabilidad que es 1 a y 2 a a B es la misma que la densidad de probabilidad de que 2 es en Una y 1 está en el B.

Puede venir como una sorpresa, pero parece claro que para explicar lo que indistinguishability significa en la práctica de la física atómica, necesitamos al menos dos entidades diferentes, distinguibles en el discurso - y sólo entonces se puede decir que no podemos distinguirlos con la descripción basada en la $\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$ función solo. Esto no significa, necesariamente, dos o todos los electrones en el mundo son en realidad uno y el mismo electrón o cualquier cosa metafísica como la gente a veces fantasear. Indistinguishability es sólo práctico molestia.

¿Por qué no $\left| \uparrow \downarrow \right\rangle$ $\left| \downarrow \uparrow \right\rangle$ en el mismo estado?

Estos dos elementos se refieren a los diferentes estados por definición; la posición de la flecha en el ket asuntos y es intencionalmente elegidos en base a que uno de los spin-cuerpo de transporte que se quiere decir. Queremos que el formalismo a trabajar de esta manera porque nos permite describir situaciones como spin z en el detector (primera posición dentro de las ket), girar hacia abajo en el detector de B(segunda posición dentro de la ket). El comportamiento que tiene en mente sucede, pero con diferentes ket - el simétrica ket $$ \left|\uparrow\downarrow\right\rangle + \left|\downarrow \uparrow\right\rangle $$ que puede ser escrito como $sym\{\uparrow,\downarrow\}$ o $sym\{\downarrow,\uparrow\}$; el orden no importa aquí.

Seguramente, si de verdad son indistinguibles, las etiquetas son simplemente una redundancia. ¿Hay alguna razón matemática detrás de esto, o es que hay una profunda razón física?

Distintas etiquetas como las de $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ se utilizan para diferentes partículas parcialmente porque se usaban ya en la mecánica clásica, en particular en la Hamiltoniana de la mecánica. Schroedinger ideó su ecuación con este formalismo Hamiltoniano en mente, por lo que utiliza diferentes coordenadas así. Por ejemplo, los necesitamos para formular el operador Hamiltoniano para el átomo de helio

$$ \hat{H} = - \frac{\manejadores^2}{2m}\Delta_1 - \frac{\manejadores^2}{2m}\Delta_2 + \frac{K}{4\pi}q_1 q_2 \frac{1}{|\mathbf r_1 - \mathbf r_2|} + \frac{K}{4\pi}Qq_1\frac{1}{|\mathbf r_1|} + \frac{K}{4\pi}Qq_2\frac{1}{|\mathbf r_2|}. $$

No hay tal cosa como la ecuación de Schroedinger con dos indistinguibles de las variables. Esto no debe ser considerado como la deficiencia de su formalismo - las variables no son partículas, después de todo. No hay ninguna dificultad con distintas variables relativas a indistinguibles de las partículas.

No hay indistinguishability en los objetos formales - los dos electrones están marcadas por las distintas variables. Sólo cuando la búsqueda de funciones que resolver la ecuación de Schroedinger $$ \hat{H} \Phi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = E \Phi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) $$ resulta que estos son, ya sea simétrica o antisimétrica lo que significa que la descripción de los electrones de la $1$ es la misma que la descripción de los electrones 2; uno no puede decir algo diferente acerca de la primera segunda partícula que sobre la segunda de las partículas de la $\psi$ función solo.

Si queremos, podemos incluso pensar que los dos electrones no son exactamente los mismos y en realidad son un poco diferentes (por ejemplo, su masa puede tener variación $10^{-62}$kg, que está más allá de nuestras habilidades a medida). Debe quedar claro que esto no nos impide el uso de anti-simétrica funciones en los cálculos con ventaja, ni para llamar a los electrones indistinguibles (cuando la masa diferencias son medible).