volumen del segmento esférico

Question

Supongamos que tengo un segmento esférico como el de la imagen.

Quiero encontrar el volumen infinitesimal de dicho segmento. El ángulo entre los puntos A y B es $d\theta$ . Y el radio de la esfera es $R$ . Aquí El volumen es de $\frac{\pi}{6}h(3a^2+3b^2+h^2)$ . Ahora trato de expresar el volumen con $R$ y $d\theta$ sólo, y estoy teniendo problemas con él. Cualquier ayuda sería apreciada.

Otro enfoque para esto, supongo, es utilizar el jacobiano en coordenadas esféricas:

Integración de $dV$ de $\phi=0$ a $\phi=2\pi$ :

$$\int_{\phi=0}^{\phi=2 \pi}r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$$ se puede encontrar en $2\pi \cdot r^2 \sin \theta dr d\theta$ . ¿Es eso correcto?

Answer 1

Esto se maneja mejor en coordenadas cilíndricas.

El volumen infinitesimal es el área de la sección circular por la altura infinitesimal, $\pi r^2(z)dz$ .

El radio en función de la altura viene dado por $r^2(z)=R^2-z^2$ entonces

$$V=\int_{z_a}^{z_a+h}\pi(R^2-z^2)dz=\pi\left(R^2z-\frac{z^3}3\right)\Big|_{z_a}^{z_a+h}.$$

Ahora, sabemos que

$$R^2=a^2+z_a^2=b^2+(z_a+h)^2.$$ Por sustracción, $$(z_a+h)^2-z_a^2=2z_ah+h^2=a^2-b^2,$$ y

$$z_a=\frac{a^2-b^2-h^2}{2h},R^2=a^2+\left(\frac{a^2-b^2-h^2}{2h}\right)^2,$$ y lo demás vendrá por añadidura.

Answer 2

Sí, $\;dV = 2\pi \cdot r^2 \sin \theta\, dr\, d\theta \;$ es la respuesta correcta. Simple y sencillo.
No hay nada que mejorar. Me parece que el OP no tiene ningún problema.

Answer 3

No es tan sencillo sólo con la integración que has sugerido. Piensa en tu límite de r y $\theta$ . Hablemos primero de un caso más sencillo, digamos un casquete esférico, es decir, con sólo una base inferior. Si se utiliza $\theta$ de 0 a $\theta_1$ correspondiente a la base, y r de 0 y $r_1$ porque r se integra de 0 a $r_1$ , por lo que tendrá un volumen extra del cono. Sin embargo, si usted menos lo que obtuvo de arriba, es decir. $2\pi R^2h/3$ con el volumen del cono obtendrás exactamente la misma fórmula que da wolfram alfa.

Consulte http://www.mathalino.com/reviewer/solid-mensuration-solid-geometry/spherical-sector y http://www.mathalino.com/reviewer/solid-mensuration-solid-geometry/spherical-segment también