¿Cómo solucionarlo?

Question

No importa cómo lo hago, siempre termino con $x = 0, 90, 270$ y $360$. Todas las personas excepto $270$ es correcto, pero bastante no puedo averiguar cómo obtener el $270$ grados fuera de la respuesta. He probado utilizando identidades trigonométricas, he intentado cuadrar ambos lados, pero siempre termino con $$2\sin x\cos x$$ which then leads me to $x = 0, 90, 270, 360$. But $% $ $\sin (270) + \cos (270) = -1$por lo que estoy haciendo algo mal.

Answer 1

Sugerencia:

Utilizar la fórmula $\sin(A+B) \equiv \sin A \cos B + \sin B \cos A$ $\sin x + \cos x$ de escribir en el % de forma $R\sin(x+\alpha)$, donde $R$ y $\alpha$ son números que usted necesita para encontrar.

Una vez que tengas tu $R$ y $\alpha$, simplemente resolver $R\sin(x+\alpha)=1$.

Answer 2

Los pasos que se siguen son perfectamente correcto! La única cosa que usted tiene que hacer que no lo has hecho ya es comprobar las soluciones extrañas. Cada vez que nos cuadrado ambos lados, existe la posibilidad de que tengamos más de las soluciones que estamos buscando.

Así, se han correctamente deduce que la lista de $0,90,270,360$ (todos los ángulos en grados) contiene todas las posibles soluciones. Después de comprobar, he notado que $270$ no es una solución, pero el resto son. Así, las soluciones se $0,90,$$360$.

En cuanto a por qué tenemos extra soluciones: aviso de que a pesar de $270$ no satisface la ecuación original, se han $$ (\sin(270)+\cos(270))^2=(-1)^2=1 $$ Lo cual tiene sentido, ya que acaba de resolver la ecuación $$ (\sin(x) + \cos(x))^2 = 1 $$

Answer 3

Otra manera de mirar esto es considerar la ecuación que representa la intersección de dos "curvas" en coordenadas polares, una $ \ r = 1 \ $ (el círculo de la unidad), la otra es la línea de $ \ \sin \theta \ + \ \cos \theta \ = \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ r \sin \theta \ + \ r \cos \theta \ = \ r \ \ \Rightarrow \ \ r \ = \ x + y \ , $ $ \ r \ $ establece igual a 1. La línea tiene intercepciones en (1, 0) y (0, 1), reunión del círculo en $ \ \theta = 0º \ \ \text{and} \ \ \theta = 90º $. (360 º se considera ser simplemente otro "ángulo-nombre" para 0 º, por lo que no es realmente una solución distinta).

Answer 4

% De uso $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x- \tan^{-1}(\frac ba))$

Su problema:

$\sqrt2\cos(x-\frac\pi4) = 1$

$\cos(x-\frac\pi4) = \frac1{\sqrt2}$

$x - \frac\pi4 = 2n\pi \pm \frac\pi4$

Para resolver esto da 0,90,360 como solución.

Answer 5

Consejo. Cuadrado ambos lados para obtener $$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x=1^2=1\implies\sin 2x=0.$$ The important thing here is to notice $2\sin x\cos x = \sin x 2$. Aviso que escribí una implicación, no de una equivalencia, así que podemos conseguir algunas soluciones extrañas al final. Una verificación de rutina puede detectar todos ellos.