¿Cuáles son las formas fáciles y rápidas de verificar determinante, polinomio mínimo, polinomio característico, valores propios, vectores propios después de calcularlos?
Entonces, si he calculado el determinante, el polinomio mínimo, el polinomio característico, los valores propios, los vectores propios, ¿cuáles son las formas de estar seguro de no haber cometido un error grave? No quiero verificar mis soluciones hasta el final, sólo quiero una forma rápida que me dé que es muy probable que el determinante calculado es correcto, etc.
Dejemos que $A$ ser un matriz $A \in \operatorname{Mat}(n, \mathbb{C})$ ,
dejar $\det(A)$ sea el determinante de la matriz $A$ ,
dejar $v_1, v_2, ..., v_k$ sea vectores propios de la matriz $A$ ,
dejar $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ sea valores propios de la matriz $A$ ,
dejar $\chi_A(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1}+\cdots + a_0 = (t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n)$ sea el polinomio característico de la matriz $A$ ,
dejar $\mu_A(t)$ sea el polinomio mínimo de la matriz $A$ .
Verificaciones sugeridas hasta ahora:
vectores propios / valores propios
- $\det(A) = \lambda_1^{m_1} \lambda_2^{m_2} \cdots \lambda_n^{m_l}$ donde $m_i$ es la multiplicidad del valor propio correspondiente
- $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$
- Los vectores propios pueden verificarse multiplicando con la matriz; los valores propios pueden verificarse al mismo tiempo; es decir $A v_i = \lambda_i v_i$
determinante
- $\det(A) = \lambda_1^{m_1} \lambda_2^{m_2} \cdots \lambda_l^{m_l}$ donde $m_i$ es la multiplicidad del valor propio correspondiente
característica / polinomio mínimo
- $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$
- $\mu_A(A) = 0$ y $\chi_A(A) = 0$
- $\mu_A(t) \mid \chi_A(t)$
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El producto de los valores propios (contando la multiplicidad) es igual al determinante. El polinomio mínimo debe dividir al polinomio característico. El término constante del polinomio característico es $(-1)^n$ veces el determinante; el coeficiente del término de grado $n-1$ es menos la suma de los valores propios (que también es la traza). ¿Ese tipo de cosas?
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Interesante pregunta. Aquí hay un artículo que investiga la complejidad de calcular y verificar la característica y los polinomios mínimos de una matriz entera: sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397502004048
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... y la matriz satisface su polinomio mínimo (y su polinomio característico), es decir, si $P(\lambda) = a_0 + a_1 \lambda + \ldots a_n \lambda^n$ es el polinomio mínimo o característico de la matriz $A$ entonces $P(A) = a_0 I + a_1 A + \ldots a_n A^n = 0$ .
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¡Exactamente ese tipo de cosas! ¿Así que multiplicando todos los valores propios se obtiene el determinante? ¡Ese es un buen truco! Ya que calculo el polinomio mínimo de la forma en que debe dividir el polinomio característico que realmente no ayuda a detectar errores en este cálculo. ¿Qué quieres decir con el "término constante del polinomio característico"; así que si el polinomio no se escribe como factores de línea? No entendí lo último todavía..
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@meinzlein: El polinomio característico es un polinomio. Si lo escribes como $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0$ entonces el "término constante" es $a_0$ . Como el polinomio característico es igual a $(x-\lambda_1)\cdots(a-\lambda_n)$ , donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son los valores propios (en el cierre algebraico del campo subyacente), entonces sabemos que $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$ y $a_{n-1} = -(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$ . El hecho de que el determinante sea igual al producto de los valores propios y la traza sea igual a la suma se deduce pensando, por ejemplo, en la forma canónica de Jordan.
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Gracias. Intenté resumir algunos "trucos" en el post original. No estoy seguro de que haya acertado con todos los índices. Necesito pensar en $a_{n-1} = -(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$ .. Más trucos o consejos de verificación ?
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@meinzlein: Mira hacia arriba Las fórmulas de Vieta o simplemente pensar en cuando se obtiene un término de grado $n-1$ al ampliar $(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$ : debe estar seleccionando $n-1$ veces el $x$ y sólo una vez el término constante.
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Un truco más: los vectores propios $u, v$ tienen diferentes valores propios $\mu \neq \lambda$ son linealmente independientes. Obsérvese que se puede utilizar el hecho de que $u$ y $v$ son linealmente independientes si $n \times 2$ matriz $[u, v]$ tiene el rango 2.