¿Cuáles son formas fáciles y rápidas de verificar el determinante, el polinomio minimal, el polinomio característico, los autovalores, los autovectores después de calcularlos?
Entonces, si calculé el determinante, el polinomio minimal, el polinomio característico, los autovalores, los autovectores, ¿cuáles son las formas de estar seguro de que no cometí un error importante? No quiero verificar mis soluciones completamente, solo quiero una forma rápida que me asegure que es muy probable que el determinante calculado sea correcto, etc.
Sea $A$ una matriz $A \in \operatorname{Mat}(n, \mathbb{C})$,
sea $\det(A)$ el determinante de la matriz $A$,
sean $v_1, v_2, ..., v_k$ los autovectores de la matriz $A$,
sean $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ los autovalores de la matriz $A$,
sea $\chi_A(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1}+\cdots + a_0 = (t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n)$ el polinomio característico de la matriz $A$,
sea $\mu_A(t)$ el polinomio minimal de la matriz $A$.
Verificaciones sugeridas hasta el momento:
autovectores / autovalores
- $\det(A) = \lambda_1^{m_1} \lambda_2^{m_2} \cdots \lambda_n^{m_l}$ donde $m_i$ es la multiplicidad del autovalor correspondiente
- $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$
- los autovectores se pueden verificar multiplicando con la matriz; los autovalores se pueden verificar al mismo tiempo; es decir, $A v_i = \lambda_i v_i$
determinante
- $\det(A) = \lambda_1^{m_1} \lambda_2^{m_2} \cdots \lambda_l^{m_l}$ donde $m_i$ es la multiplicidad del autovalor correspondiente
polinomio característico / minimal
- $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$
- $\mu_A(A) = 0$ y $\chi_A(A) = 0$
- $\mu_A(t) \mid \chi_A(t)$
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El producto de los valores propios (contando multiplicidad) es igual al determinante. El polinomio mínimo debe dividir al polinomio característico. El término constante del polinomio característico es $(-1)^n$ veces el determinante; el coeficiente del término de grado $n-1$ es menos la suma de los valores propios (que también es la traza). ¿Eso es lo que buscas?
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¡Interesante pregunta! Aquí tienes un artículo que investiga la complejidad de calcular y verificar los polinomios característicos y mínimos para una matriz de enteros: sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397502004048
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... y la matriz satisface su polinomio mínimo (y polinomio característico), es decir, si $P(\lambda) = a_0 + a_1 \lambda + \ldots a_n \lambda^n$ es el polinomio mínimo o característico de la matriz $A$, entonces $P(A) = a_0 I + a_1 A + \ldots a_n A^n = 0$.
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¡Exactamente eso! ¿Entonces multiplicar todos los eigenvalores da el determinante? ¡Eso es un buen truco! Dado que calculo el polinomio mínimo de tal forma que debe dividir al polinomio característico, eso realmente no ayuda a detectar errores en este cálculo. ¿Qué quieres decir con el »término constante del polinomio característico«; ¿así que si el polinomio no está escrito como factores lineales? Aún no entiendo el último.
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@meinzlein: El polinomio característico es un polinomio. Si lo escribes como $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0$, entonces el "término constante" es $a_0$. Dado que el polinomio característico es igual a $(x-\lambda_1)\cdots(a-\lambda_n)$, donde $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son los autovalores (en el cierre algebraico del cuerpo subyacente), entonces sabemos que $a_0 = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$ y $a_{n-1} = -(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$. El hecho de que el determinante sea igual al producto de los autovalores y la traza sea igual a la suma se deduce al pensar, por ejemplo, en la forma canónica de Jordan.
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Gracias. Intenté resumir algunos "trucos" en la publicación original. No estoy seguro si tengo todos los índices correctos. Necesito pensar en $a_{n-1} = -(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$.. ¿Alguna otra estrategia o consejos de verificación?
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@meinzlein: Busca las fórmulas de Vieta, o simplemente piensa en cuando obtienes un término de grado $n-1$ al expandir $(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$: debes estar seleccionando $n-1$ veces la $x$, y solo una vez el término constante.
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Una observación más: los eigenvectores $u, v$ con diferentes eigenvalores $\mu \neq \lambda$ son linealmente independientes. Nótese que se puede utilizar el hecho de que $u$ y $v$ son linealmente independientes si y solo si la matriz $n \times 2$ $[u, v]$ tiene rango 2.