Variedades proyectivas: conceptos básicos

Question

Estoy haciendo un curso introductorio de geometría algebraica (real) y me he atascado en algunos ejercicios básicos.

Se refieren a variedades afines y proyectivas (reales), como sigue:

1. Demostrar que el espacio proyectivo perforado, $\mathbb{P}^n - \{x\}$ no es ni proyectiva, ni cuasi afín, cuando $n \geq 2$ .

2. Demostrar que $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ y $\mathbb{P}^2$ son biracionalmente equivalentes, pero no isomorfas.

Ahora, para aclarar algunas cosas. Estudiamos más o menos basado en I. R. Shafarevich - Geometría Algebraica Básica (o algo así).

Nuestras definiciones de las nociones implicadas son:

• X es cuasi afín si es un conjunto abierto de Zariski en una variedad afín

• $\mathbb{P}^n$ se supone que significa $\mathbb{P}^n(k)$ para un campo algebraicamente cerrado $k$ y es el espacio de las "direcciones" en $\mathbb{A}^{n+1}-\{0\}$ . Específicamente, $\mathbb{P}^n=\mathbb{A}^n/\sim$ donde $x\sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in k, \ s.t. x=\lambda\cdot y$ .

• la equivalencia birracional significa que existen funciones racionales de una a otra, cuyo compuesto es la identidad (en ambos sentidos), pero que no es necesario que estén definidas en todas partes

• suele tratarse en términos de campos isomorfos bajo el isomorfismo inducido por el morfismo inicial.

Nótese que el curso es absolutamente básico, sin (co)homología, esquemas, poleas, etc. Sólo los fundamentos que he enumerado, junto con la dimensión de Krull.

Gracias, señor.

Answer 1

1) a) La variedad $V=\mathbb{P}^n - \{x\}$ no es proyectiva porque no es compacta (argumento válido para $k=\mathbb C$ ).
b) No es cuasi-afín porque las funciones globales $\Gamma(V,\mathcal O_V)=k \;$ no generan la gavilla $\mathcal O_V$ .
[Este argumento puede ser un poco prematuro con respecto a tus conocimientos actuales; si es así, vuelve a esta respuesta un poco más tarde. De todos modos, el concepto de variedad cuasi afín es esencialmente inútil en un curso introductorio. Tienes muchas nociones vitales que absorber antes].

2) a) Representar $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ como una cuádrica $Q\subset \mathbb{P}^3$ y proyecto $Q$ en un avión $P \subset \mathbb{P}^3$ desde un punto $p \in \mathbb{P}^3$ no en $Q$ . Esto dará lugar a una equivalencia birracional.
b) Dos curvas en $\mathbb{P}^2$ siempre se cruzan (Bézout débil) , mientras que para $a\neq b$ las curvas $\lbrace a\rbrace \times \mathbb{P}^1\subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ y $\lbrace b\rbrace \times \mathbb{P}^1\subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ son disjuntos.

Editar He aquí dos pruebas alternativas que responden a la petición de Adrian en su comentario.

1) a) Sobre un arbitraria campo algebraicamente cerrado $k$ la variedad $V=\mathbb{P}^n_k \setminus \lbrace x\rbrace $ no es proyectiva.
Supongamos que $x=[1:0:...:0]$ y considerar la curva $\;\mathbb A^1_k\setminus \lbrace 0\rbrace\to V:t\mapsto [1:t:...:0]$ No puede extenderse a través de $t=0$ pero si $V$ fuera proyectiva podría.

1) b) La variedad $V$ tampoco es cuasi-afín. Si fuera un subconjunto abierto de la variedad afín $W$ su $k$ -álgebra de funciones regulares globales $k[V]$ bastaría para separar sus puntos: basta con tomar las restricciones $f|V$ de las funciones globales $f$ en $W$ .
Esto no es así en absoluto, ya que las funciones regulares globales en $V$ ampliar a $\mathbb{P}^n$ y, por tanto, son constantes : $k[V]=k$