Tengo una pregunta más general se trata de mostrar que una normativa espacio vectorial no es completo con respecto a una determinada norma. Sabemos que $C([0,1])$ es completa con respecto a la sup de la norma. Para mostrar que $C([0,1])$ no es completa con respecto a $L^1$-norma, uno puede exhibir una $L^1$-secuencia de Cauchy $f_n \in C([0,1])$ y demostrar que no convergen a una función continua con respecto a la $L^1$-norma. Sin embargo, no es suficiente para mostrar que el sup norma y $L^1$-norma no son equivalentes en este espacio? Considerar la secuencia de las funciones de $f_n(x) = x^n$. Entonces $$\|f_n\|_{\infty} = 1 \mbox{ for all } n \in \mathbb{N}$$ while $$\|f_n\|_{L^1} = \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 \mbox{ as } n \rightarrow \infty$$ so there does not exist a $C > 0$: $$\|f_n\|_{\infty} \leq C \|f_n\|_{L^1} \mbox{ for all } n \in \mathbb{N}.$$ Since these norms are not equivalent and $C([0,1])$ is complete with respect to the sup norm, does it necessarily follow that $C([0,1])$ is not complete with respect to the $L^1$-norma?
Respuestas
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No, eso no sería una prueba válida. Como te han dicho, dos normas son equivalentes si tienen las mismas secuencias de Cauchy y por lo tanto, si una norma es completa, equivalente norma también está completo. Sin embargo, los dos no equivalente normas tanto puede hacer de un espacio completo. Esto es debido a que no equivalente normas tienen diferentes secuencias de Cauchy y la diferencia de secuencias convergentes.
Como ejemplo, vamos a $(X, \|\cdot \|_1)$ ser una completa normativa espacio y $f:X \to \mathbb C$ a ser una desenfrenada lineal funcional. Deje $y \in X$ ser tal que $f(y) = 1$ (siempre podemos encontrar $y$ escalando $f$ si es necesario). A continuación, defina $T : X \to X$$T(x) = x - 2f(x)y$$x \in X$. Entonces $$T^2(x) = x-2f(x)y - 2f(x-2f(x)y)y = x - 2f(x)y - 2f(x)y + 4f(x)y =x$$ so $T^2 = I$. Thus, $$\| x \|_2 := \|T(x) \|_1, \,\,\,\, x \in X$$ defines a new norm which is not equivalent to $\| \cdot \|_1$ pero que es todavía completa.
Esta construcción se discuten aquí: https://www.researchgate.net/publication/226200984_Equivalent_complete_norms_and_positivity
Deje $\lVert \cdot \rVert_1$ $\lVert \cdot \rVert_2$ ser equivalente a dos normas en un espacio vectorial $X$. A continuación, $\left( X, \lVert \cdot \rVert_1 \right)$ es completo si y sólo si $\left( X, \lVert \cdot \rVert_2 \right)$ es completa.
Para una prueba, podemos encontrar algunos de los números reales positivos $\lambda$ $\mu$ tal que $$\lambda \lVert x \rVert_1 \leq \lVert x \rVert_2 \leq \mu \lVert x \rVert_1 \ \mbox{ for all } \ x \in X.$$ Now suppose that $\a la izquierda( X, \lVert \cdot \rVert_1 \right)$ is complete, and let $\left(x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ be a Cauchy sequence in $\left( X, \lVert \cdot \rVert_2 \right)$. Then, given a real number $\varepsilon > 0$, we can find a natural number $N$ such that $$\lVert x_m - x_n \rVert_2 < \lambda \varepsilon$$ for all $m \in \mathbb{N}$ and $n \in \mathbb{N}$ such that $m > N$ and $n > N$. And so we have $$\lambda \lVert x_m - x_n \rVert_1 \leq \lVert x_m - x_n \rVert_2 < \lambda \varepsilon$$ for all $m \in \mathbb{N}$ and $n \in \mathbb{N}$ such that $m > N$ and $n > N$. Nos as $\lambda > 0$, so we can conclude that $$\lVert x_m - x_n \rVert_1 < \varepsilon$$ for all $m \in \mathbb{N}$ and $n \in \mathbb{N}$ such that $m > N$ and $n > N$, from which it follows that $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence in $\left( X, \lVert \cdot \rVert_1 \right)$, and therefore this sequence converges in $\left( X, \lVert \cdot \rVert_1 \right)$ to some point $x \in X$. So we can find a natural number $K$ such that $$\lVert x_n - x \rVert_1 < \frac{\varepsilon}{\mu} \ \mbox{ and so } \ \lVert x_n - x \rVert_2 \leq \mu \lVert x_n - x \rVert_1 < \varepsilon$$ for all $n \in \mathbb{N}$ such that $n > K$, from which it follows that $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converges to $x$ in $\left( X, \lVert \cdot \rVert_2 \right)$, y la integridad de la norma en el espacio de la siguiente manera. Y, del mismo modo lo contrario.
