3) por supuesto, usted puede definir natural isomorphisms sin el uso de la lengua de la categoría de la teoría, pero la categoría de la teoría fue (en parte) inventado para expresar eficientemente esta noción, por lo que hay poca razón para (aparte de intentar mejorar la comprensión).
2a) Filosóficamente, lo que hace un isomorfismo entre dos objetos natural es que la construcción de la isomorfismo no requiere más información que la construcción de los objetos.
Por ejemplo, para construir $V^*$ o $V^{**}$, es suficiente para saber que $V$ es un espacio vectorial. Lo que quiero decir es que el fin de construir los dos conjuntos $V^*=\{f\colon V\to\mathbb F\mid f\text{ is linear}\}$, $V^{**}=\{f\colon V^*\to\mathbb F\mid f\text{ is linear}\}$, y para darles la estructura de espacios vectoriales, usted necesita saber nada más de lo que un espacio vectorial es (de ahí lo "lineal"), y que $V$ es un espacio vectorial.
Más probable es que en su libro, para construir una inyectiva lineal mapa de $\phi\colon V\to V^*$, se utiliza información adicional sobre el espacio vectorial $V$: probablemente una opción de base. Para $\phi$ a también ser surjective, y por lo tanto un isomorfismo, que necesita aún más la información: que la base era finito*.
Por otro lado, a fin de construir el lineal mapa de $\psi_V\colon V\to V^{**}$, sin embargo, usted no necesita cualquier información adicional aparte de eso $V$ es un espacio vectorial. Simplemente defina $\psi_V(v)\in V^{**}$ mediante la especificación de cómo la $\psi(v)$ actúa sobre los elementos de $f\in V^*$: se declara $\psi_V(v)(f)=f(v)$. (Para saber que es un isomorfismo, usted todavía necesita la información adicional que $V$ es finito-dimensional, de lo contrario $\psi_V$ es sólo inyectiva).
2b) Matemáticamente, el hecho de que un isomorfismo es natural, es decir, no depende de la información estructural más allá de la contenida en los objetos, es capturado por la definición de un isomorfismo natural si su construcción es preservada por la estructura de la preservación (por ejemplo, lineal) de los mapas. Esto es más fácil de expresarse mediante el lenguaje de la categoría de teoría (ya que el lenguaje de la categoría de la teoría fue inventado para expresar esto).
Concretamente, se puede ver que el isomorfismo entre el $V$ $V^*$ no es natural ya que el isomorfismo basado en $\{e_1,\dots,e_n\}$ probable que define la base dual $e_i^*(\sum a_je_j)=a_i$. Pero todo esto está haciendo es definir un interior-producto (no degenerada forma bilineal si el campo base $\mathbb F\neq\mathbb R$) $\left<\cdot,\cdot\right>$ en $V$ tal que $\left<e_i,e_j\right>=\delta_{ij}=\begin{cases}0&i\neq j\\1&i=j\end{cases}$. La base (al $\mathbb F=\mathbb R$) nos permite identificar las $V$ como de costumbre, $n$- dimensional en el espacio con coordenadas, el producto interior se convierte en el producto escalar, y el isomorfismo a $V^*$ envía un vector $\vec v$ a la funcional que proyecta ortogonalmente sobre $\vec v$. Entonces la única transformaciones lineales de $V$ a sí mismo que preservar el isomorfismo a $V^*$ son ortonormales transformaciones, que conservar la longitud y (unsigned) el ángulo entre los vectores. Todas las demás transformaciones de $V$ a sí mismo romper el isomorfismo, y por lo tanto podemos concluir que el isomorfismo no es natural.
1) El uso de transformaciones naturales es que se aseguran de que los mapas se construyen reflejar genuino propiedades del objeto matemático, en lugar de ser un artefacto de la forma concreta en la que se presenta el objeto, y, por tanto, una consecuencia de las propiedades que el objeto "en-y-de-sí" no tiene.
*De manera más general, la información extra para $\phi$ que usted necesita es que de una forma bilineal, que la base le permite definir, y para $\phi^{-1}$ usted necesita la forma bilineal no degenerada, que es lo que la finitud de la base permite que usted construya. Sin embargo, hay otras formas de construir no degenerada formas bilineales, por ejemplo, $L^2$ interior de los productos.
EDIT: en respuesta a los comentarios, se nota que no tiene sentido hablar de natural isomorphisms entre "antinatural construcciones". Me dijo que filosóficamente, una construcción natural es aquel que no depende de la información adicional. Matemáticamente, es un functor: además nos dice cómo construir un nuevo objeto de $F(V)$ de un viejo objeto de $V$, una construcción natural también nos habla de cómo la construcción se comporta si se les da una estructura-la preservación de mapa de $f\colon V\to W$, dando una estructura-la preservación de mapa de $F(f)$$F(V)$$F(W)$.
Hay dos tipos de naturales construcciones: covariante y contravariante, dependiendo de si $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$ o $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$. En particular, uno muestra la construcción de $V^*$ (contravariantly) natural por definición/construcción, para cualquier $f\colon V\to W$, $f^*\colon W^*\to V^*$ $f^*\colon g\mapsto g\circ f$ cualquier $g\colon W\to\mathbb F$, y mostrando que el $(f_1\circ f_2)^*(g)=g\circ f_1\circ f_2=(f_2^*\circ f_1^*)(g)$.
Ahora, una transformación natural entre el $I$ (la construcción de la identidad $I(V)=V$ $I(f)=f$ son isomorphisms $\phi_V\colon I(V)\to F(V)$ tal forma que:
$
\requieren{AMScd}
\begin{CD}
I(V) @>{\phi_V}>> F(V)\\
@VfVV @VVF(f)V \\
I(W) @>{\phi_W}>> I(W)
\end{CD}$ for covariant $F$ o
$\begin{CD}
I(V) @>{\phi_V}>> F(V)\\
@VfVV @AAF(f)A \\
I(W) @>{\phi_W}>> I(W)
\end{CD}$ for contravariant $F$.
Ahora es fácil ver que no es natural isomorfismo entre el$V$$V^*$. Para suponer que había, así que tenemos
$\begin{CD}
V @>{\phi_V}>> V^*\\
@VfVV @AAf^*A \\
W @>{\phi_W}>> W^*
\end{CD}$
para cada $f\colon V\to W$. Entonces, claramente, $\phi_V^{-1}\circ f^*\circ\phi_W\circ f$ sería la identidad, por lo $f^{-1}\colon W\to V$ estaría dado por $\phi_V^{-1}\circ f^*\circ\phi_W$. Pero no todos lineal mapa es un isomorfismo (en particular, el $f(v)=0$ es lineal en el mapa que no es un isomorfismo para cualquier elección de $V$$W$), por lo que la contradicción.
