Entrelazado Teorema de Cauchy - cómo completar esta prueba

Question

Estoy buscando una prueba utilizando el min-max principio. Wikipedia parecen ofrecer exactamente eso: http://en.wikipedia.org/wiki/Min-max_theorem#Cauchy_interlacing_theorem

Pero esta parte parece estar mal:

Esto puede ser demostrado mediante el min-max principio. Deje $\beta_i$ correspondiente autovector $b_i$ $S_j$ $j$ dimensiones subespacio $S_j=\operatorname{span}\{b_1,\dots, b_j\}$, luego $$ \beta_j = \max_{x\in S_j,\|x\|=1}(Bx,x) =\max_{x\in S_j,\|x\|=1}(PAPx,x) =\max_{x\in S_j,\|x\|=1}(Ax,x)$$

Cómo es el cambio de $PAPx$ $Ax$legal? $PAP$ $m\times m$ matriz, mientras que $A$ $n\times n$ matriz. $x$ no puede caber tanto. ¿Alguien puede corregir la prueba?

Answer 1

La prueba en la wikipedia tiene muchos defectos de hecho. El % de proyección $P$puede ser expresado con matriz $P=V*V'$ donde columnas de $V$ son vectores propios $v_1, v_2, \dots v_m$ asociado $\alpha_1, \dots \alpha_m$ $A$. Así $V$ es $n*m$ matriz. A continuación, puede escribir $B=V'*A*V$ y $\max (Bx,x) = \max x'*V'*A*V*x = \max (V*x)'*A*(V*x)$. Cuando $\operatorname{norm}(x)=1$ y $\operatorname{norm}(Vx)=1$ así. Se trata de Cómo llegué al final de la prueba.