Solución analítica para la igualdad racional, raíz cuadrada en el denominador en ambos lados

Question

Así que yo estaba tratando de resolver un problema que vi en un conjunto de práctica para 6to grado de matemáticas de la competencia, tan lejos como puedo recordar. Era una historia problema, pero creo que la solución es el valor mínimo de

$$ \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(5-x)^2 + 49} $$

para $x$ en el intervalo de $[0,5]$. Sé que la derivada en un mínimo debería ser de cero, de modo que

$$ {x \\sqrt{x^2+25}} + {x-5 \\sqrt{(5-x)^2 + 49}} = 0 $$

Puedo ver por la experimentación que la respuesta está cerca de a$13$, $x$ cerca de $2.08$. Sin embargo, me quedo atascado después de eso. Si escribo como

$$ {x \\sqrt{x^2+25}} = {5-x \\sqrt{(5-x)^2 + 49}} $$

puedo multiplicar ambos lados por el producto de los denominadores? Puedo plaza de los dos lados? Cuando hago eso, tengo un cuarto de grado del polinomio en cada lado, pero el cuarto grado y de tercer grado, término cancelar; y el me queda una ecuación de segundo grado cuyas raíces están en ninguna parte cerca del intervalo necesito.

Más en general, existe una solución analítica para

$$ \min\left(\sqrt{x^2+y_0^2} + \sqrt{(x_0-x)^2+y_1^2}\right) $$

donde $y_0$, $y_1$, y $x_0$ son constantes positivas?

Answer 1

No muchos de los estudiantes de 6to Grado se sienta cómodo con el cálculo, por lo que podemos resolver el problema de otra manera.

Dibujar el punto de $P=(0,5)$ y el punto de $Q=(5,7)$. Queremos que el punto de $X=(x,0)$ $x$- eje de tal forma que la suma de las distancias a $PX$ $XQ$ es un mínimo. (También queremos $0\le x\le 5$, pero que va a llegar a ser irrelevante.)

Deje $P'=(0,-5)$. Por simetría queremos $P'X+XQ$ a un mínimo.

Únete a $P'$$Q$. Poner a $X$ donde $P'Q$ cumple con la $x$-eje minimiza la suma de las distancias. (La trayectoria en línea recta de $P'$ $Q$minimiza la distancia recorrida.)

Por el Teorema de Pitágoras, la distancia $P'Q$$\sqrt{5^2+12^2}$.

Answer 2

El mínimo para el caso general $\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(b-x)^2+c^2}$ se encuentra (como usted notó correctamente) por diferenciación, valor igual a cero y resolver para $x$.

Después de algunos cálculos tediosos (o dejar que una computadora haga el trabajo por usted) usted consigue:

$$x_{min}=\frac{ab}{a\pm c}$$

Poner en los valores de su problema específico, ese % $ $$x_{min}=\frac{25}{12}=2.08\overline{33}$

Como señaló en los comentarios, tenga en cuenta que al tratar de encontrar un mínimo en un intervalo específico, tienes que comprobar los extremos también.

Answer 3

Usted puede hacer las dos cosas que usted ha mencionado, y usted debe obtener la ecuación $$x^2\left((5-x)^2+49\right)=(5-x)^2(x^2+25)$$ que se simplifica a $$24 x^2 +250x-625=0.$$ Las raíces se $25/12$$-25/2$; descartar $-25/2$ porque está fuera del intervalo de las $[0,5]$. (Estos son los llamados puntos críticos.)

Sin embargo, usted también debe verificar los extremos ( $0$ $5$ ), debido a que en algunos problemas, que es donde el mínimo es de. El mínimo en realidad resulta ser en $x=25/12$, un poco más de $2$.

En respuesta a tu segunda pregunta, el análisis se puede hacer con constantes genéricos $x_0$, $y_0$ y $y_1$; sin embargo, si usted está encontrando el valor mínimo en un intervalo, también es necesario comprobar los extremos, y si los puntos críticos dentro de ese intervalo. Para el registro, los puntos críticos son: $${x_0 \left(y_0 \pm y_1\sqrt{y_0}\right)\over y_0 -y_1^2},$$ a menos, claro,$y_1^2=y_0$, en cuyo caso el único punto crítico es $\displaystyle {x_0 \over 2}$.