Existencia de una cierta función

Question

Existe una función continua $f:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ que satisface

$$\int_{\mathbb{R}} f^n d L^1 = 1 $$

¿para cada natural $n$? ($L^1$ es medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$)

Answer 1

Jajaja Supongamos que existe tal $f$ para llegar a una contradicción. A continuación, $\sup\limits_{x\in \mathbb R}f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\int_{\mathbb R} f^n dL\right)^{1/n}=1$, que $f(x)\leq 1$ % todos $x$. Por lo tanto, $f-f^2$ es una función no negativa, y por continuidad $f-f^2$ no es siempre cero. Esto implica (otra vez con continuidad) que $\int_{\mathbb R} f-f^2 dL>0$.