Duda sobre grupos isomorfos.

Question

Que $G$ $H$ ser dos grupos isomorfos. Según mis conocimientos actuales, tanto $G$ $H$ tienen las mismas propiedades y no necesitan ser distinguidos. Pero mi libro dice que $G$ y $H$ pueden se comportan diferentemente si son subgrupos de un grupo grande. ¿No entiendo por qué es?

Answer 1

Ejemplo: El "grupo grande" es $\mathbb{Z}$ con adición. Que $A=p\mathbb{Z}$ para cualquier % prime $p$y $B=k\mathbb{Z}$ para cualquier no-prime cero $k$. $A$ Y $B$ son isomorfos como grupos. Sin embargo, $\mathbb{Z}/A$ tiene no adecuados subgrupos no trivial. $\mathbb{Z}/B$ tiene subgrupos no trivial adecuados. De esta manera $A$ y $B$ actúan diferentemente como subgrupos de $\mathbb{Z}$.

Answer 2

Otro ejemplo - que $G$ ser cualquier grupo no-abeliano . Entonces el % de subgrupos $H:=\{(g,1) : g \in G\}$y $K=\{(g,g) : g \in G\}$ del producto directo $G \times G$ son isomorfos. Sin embargo, es normal en $H$ $G \times G$ y $K$ no es.