¿Se puede expresar la suma de dos radicales con diferentes radicands en la forma más simple como otro surd?

Question

Es decir, hay enteros positivos mayores que 1 que satisface la siguiente ecuación?

${n_1}^{1/e_1}+{n_2}^{1/e_2}={n_3}^{1/e_2}$

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Mi inspiración para este problema fue el siguiente problema:

Cuántos enteros son las soluciones a la ecuación de $\sqrt{a}+\sqrt{b}=12\sqrt{3}$?

La clave para el problema sería para demostrar que a y b deben tener y extraño poder de 3 en su descomposición en factores primos. El contorno de mi prueba para el anterior caso específico es el siguiente:

1. Tenga en cuenta que $a,b$ no pueden ser cuadrados perfectos.
2. Escribimos $a=3^{k_1}\alpha, b=3^{k_2}\beta$ donde $3∤α,β$
3. Considerando congruencias, demostrar que $k_1, k_2$ deben ser de la misma paridad.
4. Considerando el caso en que $k_1, k_2$ son ambos inclusive
   1. $\alpha,\beta$ no pueden ser cuadrados perfectos.
   2. Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación original, nos encontramos con que $\sqrt{\alpha\beta}$ debe ser racional, y por lo tanto debe ser un entero.
   3. Expresan ${\alpha, \beta}$ como productos de cuadrados perfectos y plaza libre enteros, nos encontramos con que su plaza libre de componentes debe ser igual. Denotar esta plaza libre de componentes como $f$.
   4. $12\sqrt{3}=C\sqrt{f}$ donde $C$ es un número entero. A continuación,$f=3$, lo cual es una contradicción.

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Una alternativa, más corta de la prueba por un amigo:

1. Tenga en cuenta que $ab$ es cuadrado perfecto.
2. $a=0, b=0$ cada 1 solución. De lo contrario, $a,b>0$.
3. Deje $d=gcd(a, b)$. Desde $ab$ es un cuadrado perfecto, $a={x^2}d, b={y^2}d$ para algunos relativamente primos números enteros positivos x, y.
4. ${(x+y)^2}d=432$, que permite calcular el número de enteros positivos soluciones.

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Será posible generalizar, ya sea la prueba de surds de mayor (y no necesariamente igual) los pedidos?

Answer 1

Partimos de la ecuación de $n_1^{\frac{1}{e_1}}+n_2^{\frac{1}{e_2}}=n_3^{\frac{1}{e_3}}$.

Escribo como $((n_1)^{e_2e_3})^{\frac{1}{e_1e_2e_3}}+((n_2)^{e_1e_3})^{\frac{1}{e_1e_2e_3}}=((n_3)^{e_1e_2})^{\frac{1}{e_1e_2e_3}}$.

Ahora, esto se reduce a la Inversa de la ecuación de Fermat $x^{\frac{1}{n}}+y^{\frac{1}{n}}=z^{\frac{1}{n}}$, por lo que la solución se encuentra aquí: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICACIONES/1992d/art.pdf

El quid es mostrar que $(\frac{x}{y})^{\frac{1}{n}}$ es racional. Esto implica que $x=a^nd, y=b^nd, z=(a+b)^nd$ donde $gcd(a, b)=1$.

Ahora la pregunta $\sqrt{a}+\sqrt{b}=12\sqrt{3}$, $a=0, b=0$ contribuir 2 soluciones, de lo contrario $a, b>0$.

Llegamos $a=x^2d, b=y^2d, x, y>0, gcd(x, y)=1, 12^2(3)=(x+y)^2d$, lo $x+y$ es un factor de 12 que es $>1$. Para cada factor de $f=x+y$, cada número $\leq f$ que es relativamente primer a $f$ da una solución, con lo que conseguimos $\sum\limits_{i \mid 12, i>1}{\varphi (i)}=11$. Así el número total de soluciones es $11+2=13$.