Respuesta corta:
Creo que la notación es el principal problema aquí. En su segunda ecuación, la LHS $\rho\mathbf{u}$ es una función de $\mathbf{x}_0$$t$, mientras que su RHS $\rho\mathbf{u}$ es una función de $\mathbf{x}$$t$. La sutil diferencia es que el $\mathbf{x}_0$ debe ser tratado como una partícula de la etiqueta, no se trata de una posición. Como se sospechaba, el puente entre las dos formulaciones de la $\rho\mathbf{u}$ está relacionado con el por $\phi$:
$$
(\rho\mathbf{u})(\mathbf{x},t) = (\rho\mathbf{u})\left[\phi(\mathbf{x},t),t\right]
$$
En su segunda ecuación, el tiempo derivativo en el LHS es con respecto a una colección fija de partículas, mientras que en el lado derecho debe ser con respecto a un ubicaciones fijas en el espacio. De hecho, el material derivado $\frac{D}{Dt}$ se aplica a funciones de $\mathbf{x}$$t$. Usando la función de la partícula de la etiqueta y el tiempo no tiene sentido. Así que la segunda ecuación proviene tomar el tiempo derivado de la expresión anterior.
$$
\begin{align}
\frac{d}{dt}(\rho\mathbf{u})\left[\phi(\mathbf{x},t),t\right] & = \frac{d}{dt}(\rho\mathbf{u})(\mathbf{x},t) \\
& = \frac{D}{Dt}(\rho\mathbf{u})(\mathbf{x},t)
\end{align}
$$
Tiempo De Respuesta/Derivación:
Para mantener la derivación más legible, vamos a definir $\mathbf{f}$ como el
el transporte de la propiedad que nos interesa. En su caso, $\mathbf{f} = \rho\mathbf{u}$.
El cambio de las variables que desea realizar transforma $\mathbf{f}$ entre
dos diferentes marcos de referencia.
La Euleriano marco de referencia se ve en los cambios en la $\mathbf{f}$ a partir de
el punto de vista de un observador externo, viendo todo el campo de flujo.
La propiedad de los fluidos que depende de su ubicación y la hora:
$$
\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t)
$$
La Euleriano marco es conveniente para los experimentos y operaciones
involucrando a los gradientes espaciales. Sin embargo, la aplicación de las leyes de la mecánica clásica en este marco de referencia no es tan sencillo, ya que las partículas que ocupan un lugar $\mathbf{x}$ a diferentes tiempos son por lo general no es el mismo. Con el fin de utilizar las leyes de la conservación, cambiamos a un más adecuado marco de referencia.
El Lagrangiano de marco de referencia va a controlar el cambio de la $\mathbf{f}$ desde el punto
de vista de un fluido de partículas. En tal marco de referencia, cada uno de los
la partícula tiene asociada una $\mathbf{f}(t)$. Pongamos nombre a cada partícula
en nuestro continuo con una etiqueta de $\mathbf{\xi}$, por lo que
$$
\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{\xi}, t)
$$
da la propiedad de partícula $\mathbf{\xi}$ tiempo $t$. Para distinguir las propiedades de los dos marcos de referencia, se acentúa el Lagrangiano de propiedades con una tilde.
$$
\tilde{\mathbf{f}} = \tilde{\mathbf{f}}(\mathbf{\xi}, t)
$$
Ahora necesitamos un mapa entre las $\tilde{\mathbf{f}}$$\mathbf{f}$. Vamos a definir $\phi$ como el
la asignación que tarda la partícula de la ubicación de $\mathbf{x}$ en algún momento $t$ y devuelve la etiqueta de la partícula $\mathbf{\xi}$
$$
\mathbf{\xi} = \phi(\mathbf{x},t)
$$
Si hemos utilizado la ubicación de una partícula en $t=0$ como su etiqueta, a continuación, llegamos a la trayectoria de la función que se utiliza
$$
\mathbf{x}_0 = \phi(\mathbf{x}, t)
$$
Es importante tener en cuenta que el $\mathbf{x}_0$ sirve como una partícula de la etiqueta, así que mientras
$$
\tilde{\mathbf{f}}(\mathbf{x}_0,0) = \mathbf{f}(\mathbf{x}_0,0)
$$
en general
$$
\tilde{\mathbf{f}}(\mathbf{x},t) \ne \mathbf{f}(\mathbf{x},t)
$$
En lugar de eso, los dos marcos de referencia están relacionados por
$$
\mathbf{f}(\mathbf{x},t) = \tilde{\mathbf{f}}\left[\phi(\mathbf{x},t),t\right]
$$
y el Jacobiano debe ser una función de la partícula de la etiqueta y el tiempo:
$$
J = J(\mathrm{\xi},t)
$$
Usando esta notación, la primera integral en su pregunta se convierte en
$$
\begin{align}
\frac{d}{dt}\int_{W(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t) dV & = \frac{d}{dt}\int_W \tilde{\mathbf{f}}\left[\phi(\mathbf{x},t),t\right]J(\mathbf{\xi},t)dV \\
& = \int_W \left[ \frac{d\tilde{\mathbf{f}}}{dt}J + \tilde{\mathbf{f}}\frac{dJ}{dt} \right] dV
\end{align}
$$
La segunda ecuación en tu pregunta no se aplica hasta que la integral anterior se transforma a partir de la $(\mathbf{\xi},t)$ $(\mathbf{x},t)$ marco. Tomando nota de que el tiempo derivado de este Jacobiana puede ser escrito como (este es un conjunto de otros derivación):
$$
\frac{dJ}{dt} = (\nabla \cdot \mathbf{u})J(\mathbf{x},t)
$$
tenemos:
$$
\begin{align}
\int_W \left[ \frac{d\tilde{\mathbf{f}}}{dt}J + \tilde{\mathbf{f}}\frac{dJ}{dt} \right] dV & = \int_{W(t)} \left[\frac{d}{dt}\mathbf{f}(\mathbf{x},t) + \mathbf{f}(\mathbf{x},t)(\nabla \cdot \mathbf{u})\right] dV
\end{align}
$$
El primer término de la integral se puede ampliar usando la regla de la cadena
$$
\frac{d}{dt}\mathbf{f}(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}
$$
que es justo la definición del material derivado $\frac{D}{Dt}$
