Tiene

Question

En un libro que estaba leyendo, parecía dar a entender que $E(X-E(X))=0$. Mi intuición me dice que esto es cierto, porque si $E(X)$ es el "centro", entonces el desplazamiento promedio de este centro debe ser 0. ¿Sin embargo, alguien me puede mostrar una prueba formal (suponiendo que es cierto)?

Answer 1

Es cierto por la linealidad de la expectativa:

$$E(X - E(X)) = E(X) - E(E(X))$$

$E(X)$ Es un % constante $E(E(X))$es a $E(X)$ y $E(X) - E(E(X)) = 0$

Answer 2

$$ \mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X)) = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(\mathbb{E}(X)) = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(X) = 0.$$

O $$ \mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))^2 = \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X)^2) - \mbox{Var}(X-\mathbb{E}(X)) = \mbox{Var}(X) - \mbox{Var}(X) = 0. $ $

Answer 3

Sí, es cierto, en general, por la linealidad de las expectativas.

Pero como ejemplo, consideremos el discreto, el caso finito con $n$ valores: $X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ cada ocurren con igual probabilidad.

Entonces

$$ E(X)=\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

y

$$ E(X-E(X))=\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_j-\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \right)=\dfrac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{n}x_j - \sum_{i=1}^n x_i\right)=0 $$

En el último paso hemos movido la suma de $i$ fuera de la suma de $j$, porque el primero no dependen $j$. Tenemos que multiplicar el $\sum_i$ plazo por $n$, sin embargo, como $\sum_j$ $n$ términos. Esta $n$ cancela con el $1/n$ asociado con el $\sum_i$ plazo.

Answer 4

Más en General, tenga en cuenta que para una variable aleatoria (r.v.) X puede tener una distribución discreta con la probabilidad de que X puede tomar un determinado valor de x es P(X=x) (la función de masa de probabilidad), de una distribución continua, donde X tiene un continuo de la función de densidad de probabilidad f(x) (o una mezcla de un conjunto de dominios). Si X es totalmente discreta f(x) es cero para todo x, así como una continua r.v. significa que P(X=x) = 0 para todo x.

$$E(X) = \sum_{x=0}^\infty xP(X=x) + \int_0^\infty xf(x) \;\mathrm{dx}$$

Lo que significa que

$$E(X-E(X)) = \sum_{x=0}^\infty \left(x- \left[\sum_{x=0}^\infty xP(X=x) + \int_0^\infty xf(x) \;\mathrm{dx}\right]\right)P(X=x) + \int_0^\infty \left(x-\left[\sum_{x=0}^\infty xP(X=x) + \int_0^\infty xf(x) \;\mathrm{dx}\right]\right)f(x) \;\mathrm{dx}$$

Esto puede parece una exageración, PERO usted puede, a continuación, siga el álgebra sin citar presume teoremas (linealidad de la Expectativa etc) - que fácilmente pueden ser derivados de todos modos...