Comprensión intuitiva de por qué la suma de nth raíces de la unidad es $0$

Question

Wikipedia dice que es intuitivamente obvio que la suma de $n$th raíces de la unidad es $0$. A mí me parece más evidente cuando se considera el hecho de que $\displaystyle 1+x+x^2+...+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}$ y $\{\alpha \in \mathbb{C}: \alpha^n=1\}$ es un grupo cíclico.

Para mí, es difícil, intuitivamente, ver esto en el caso de que $n$ es un extraño compuesto de número natural.

Aquí está mi razonamiento hasta el momento:

Deje $n=5$. (Entiendo que esto es fácil cuando se considera el polinomio mínimo).

Desde el conjugado de un $n$th raíz de la unidad es también una $n$th raíz de la unidad, es fácil ver que, cuando se escribe en forma trigonométrica, la suma (posible reordenación de aquí)

$1+\alpha^1+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4$

$=1+( \cos (72)+i \sin (72))+( \cos (144) + i \sin (144))+( \cos (72)-i \sin (72))+( \cos (144)-i \sin (144))$
$=1+2 \cos (72)+2 \cos (144)$.

De alguna manera,$2 \cos (72)+2 \cos (144)=-1$, pero no estoy seguro de que esto es obvio, o tal vez estoy siendo tonta aquí.

¿Qué te parece? Tonta?

Answer 1

Las raíces de $n$ de la unidad de orden $n$ (todos, no sólo los primitivos) son equidistantes alrededor del círculo unidad. Si la suma era distinto de cero, tendría un argumento (ángulo en relación con el eje de $x$) que sería una violación de la simetría. Por lo tanto, por simetría, la suma debe ser 0.

Answer 2

Considerar las raíces cúbicas de la unidad. Usted puede escribir en el avión con $x$ la parte real y la $y$ la parte imaginaria. Dan tres vectores a todos con la unidad de longitud, espaciados uniformemente alrededor del círculo unitario. Ahora vamos a añadir los dos vectores que no son de 1 (es decir, los dos que se enfrentan a la izquierda) y consigue $-1$, como se muestra en la segunda imagen de abajo (la luz vectores se han ido y que su suma es la que apunta a la izquierda del vector que representa a $-1$). Por supuesto, usted puede agregar cualquier dos vectores que te gusta, pero siempre te dará un vector que es el negativo de la otra. Agregar al final de los dos le dará 0. Esto sucede para cualquier número de vectores cuando son un conjunto completo de todas las raíces de la unidad.

Nota: Esto está lejos de una rigurosa prueba, pero estoy tratando de apelar a su intuición. La imagen no es tan agradable para 5-ths raíces de la unidad.

A la dirección de su editada pregunta, sí, $2\cos(72) + 2\cos(144) = -1$. No es obvio, así que no creo que te estás haciendo el tonto. Se trata de la fórmula general

$$ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2 \pi k}{n} = 0 $$

que, con una pequeña cantidad de la manipulación, le da la fórmula de arriba. Esta identidad se da otra prueba de que el $n$-th raíces de la unidad suma a 0: el $\sin$ valores se cancelan uno al otro, dejando un coseno de la suma equivalente a la anterior. La normal de prueba para esta fórmula utiliza los números complejos, pero también se puede obtener una más elementales prueba usando identidades trigonométricas. Sin embargo, yo diría que su solicitud para una comprensión intuitiva está mejor servido por los encuestados con "centro de masa" tipo de argumentos que este trigonometría cosas.

Answer 3

Apelando a la intuición física, es sólo el centro de masa.

Creo que de las raíces de la unidad, como las coordenadas de $n$ bolas iguales, igualmente espaciados alrededor de un círculo en $\mathbb{R}^2$. ¿Cuál es la ubicación del centro de masa? Es el centro del círculo. En consecuencia, la adición de las raíces de la unidad da el centro del círculo unitario, que es $0$.

Answer 4

He aquí una expresión algebraica de la versión de Alon comentario, básicamente su argumento inicial esperemos escrito más intuitiva: el $n$ de las raíces se $1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{n-1}$ donde $\zeta$ es una primitiva $n$th de la raíz ($\zeta^n=1$). Deje $S$ ser la suma de todos estos: $S=1+\zeta+\zeta^2+\ldots = \Sigma_{i=0}^{n-1} \zeta^i$. A continuación,$\zeta S = \zeta+\zeta^2+\ldots+\zeta^n = \zeta+\zeta^2+\ldots+\zeta^{n-1}+1 = S$; rotación de manera que el cero-esima de la raíz se convierte en la primera, la primera se convierte en la segunda, etc. - que es, multiplaying por $\zeta$ - no se puede cambiar la suma.

Answer 5

Si $\rm\:n>1\:$ $\rm\:x^n - b\ x^{n-1} + \cdots\:$ tiene raíz suma $\rm\:= b\:,\:$ por lo tanto $\rm\:x^n - 1\:$ tiene raíz suma $= 0\:.$

En el corazón de la materia es la ley de la adición siguiente:

$$\rm\ \ \ (x^k-{\color{red} r}\ x^{k-1}+\cdots\:)\ (x^n - {\color{red} s}\ x^{n-1}+\cdots\:)\:\ =\ \ x^{k\:+\:n} - ({\color{red}{r+s}})\ x^{k\:+\:n-1} + \cdots$$