¿Cuál es la diferencia entre un punto y un vector?

Question

Entiendo que un vector tiene dirección y magnitud mientras que un punto no.

Sin embargo, en los apuntes del curso que estoy utilizando, se dice que un punto es lo mismo que un vector.

Además, ¿se puede hacer el producto cruz y el producto punto utilizando dos puntos en lugar de dos vectores? Yo creo que no, pero mi compañero de piso insiste en que sí, y ahora estoy algo confuso.

Answer 1

Aquí hay una respuesta sin usar símbolos.

La diferencia es precisamente la que existe entre ubicación y desplazamiento .

• Los puntos son ubicaciones en el espacio .
• Los vectores son desplazamientos en el espacio .

Una analogía con el tiempo funciona bien.

• Los tiempos, (también llamados instantes o fechas) son lugares en el tiempo .
• Las duraciones son desplazamientos en el tiempo .

Así que, con el tiempo,

• 4:00 p.m., mediodía, medianoche, 12:20, 23:11, etc. son veces
• +3 horas, -2,5 horas, +17 segundos, etc., son duraciones

Fíjate en que las duraciones pueden ser positivas o negativas; esto les da "dirección" además de su valor escalar puro. Ahora la mejor manera de distinguir mentalmente los tiempos y las duraciones es por las operaciones que soportan

• Dada una hora, puedes añadir una duración para obtener una nueva hora (3:00 + 2 horas = 5:00)
• Puedes restar dos tiempos para obtener una duración (7:00 - 1:00 = 6 horas)
• Puedes añadir dos duraciones (3 horas, 20 minutos + 6 horas, 50 minutos = 10 horas, 10 minutos)

Pero no se puede sumar dos veces (3:15 a.m. + mediodía = ???)

Traslademos la analogía para hablar ahora del espacio:

• $(3,5)$ , $(-2.25,7)$ , $(0,-1)$ etc. son puntos
• $\langle 4,-5 \rangle$ es un vector lo que significa 4 unidades al este y 5 al sur, suponiendo que el norte está arriba (lo siento residentes del hemisferio sur)

Ahora tenemos exactamente las mismas operaciones análogas en el espacio que en el tiempo:

• Puedes añadir un punto y un vector: A partir de $(4,5)$ y que va $\langle -1,3 \rangle$ te lleva al punto $(3,8)$
• Puedes restar dos puntos para obtener el desplazamiento entre ellos: $(10,10) - (3,1) = \langle 7,9 \rangle$ , que es el desplazamiento que se haría desde la segunda ubicación para llegar a la primera
• Puedes sumar dos desplazamientos para obtener un desplazamiento compuesto: $\langle 1,3 \rangle + \langle -5,8 \rangle = \langle -4,11 \rangle$ . Es decir, ir 1 paso al norte y 3 al este, luego ir 5 al sur y 8 al este es lo mismo y sólo ir 4 al sur y 11 al este.

Pero no se pueden sumar dos puntos.

En términos más concretos: Moscú + $\langle\text{200 km north, 7000 km west}\rangle$ es otro lugar (punto) en algún lugar de la tierra. Pero Moscú + Los Ángeles no tiene sentido.

En resumen, una ubicación es el lugar (o el momento) en el que te encuentras, y un desplazamiento es cómo ir de un lugar a otro . Los desplazamientos tienen una magnitud (la distancia que hay que recorrer) y una dirección (que en el tiempo, un espacio unidimensional, es simplemente positiva o negativa). En el espacio, los lugares son puntos y los desplazamientos son vectores . En el tiempo, las localizaciones son (puntos en) el tiempo, es decir instantes y los desplazamientos son duraciones .

EDITAR 1 : En respuesta a algunos de los comentarios, debo señalar que las 16:00 horas es NO un desplazamiento, pero "+4 horas" y "-7 horas" sí lo son. Claro que puedes llegar a las 4:00 p.m. (un instante) añadiendo el desplazamiento "+16 horas" al instante medianoche. También se puede llegar a las 4:00 p.m. añadiendo el desplazamiento "-3 horas" a las 7:00 p.m. El origen de la confusión entre lugares y desplazamientos es que la gente trabaja mentalmente en sistemas de coordenadas relativos a algún origen (ya sea $(0,0)$ o "medianoche" o similar) y ambos conceptos se representan como coordenadas. Supongo que ese era el objetivo de la pregunta.

EDITAR 2 : He añadido algo de texto para aclarar que las duraciones realmente tienen dirección; antes había escrito tanto -2,5 horas como +3 horas, pero algunos podrían haber pasado por alto que el negativo encapsulaba una dirección, y pensar que una duración es "sólo un escalar" cuando en realidad la adición de un $+$ o $-$ realmente le da dirección.

EDITAR 3 : Un resumen en forma de tabla:

+--------------------+------------------------+-----------------------+
| Concept            | SPACE                  | TIME                  |
+--------------------+------------------------+-----------------------+
| LOCATION           | POINT                  | TIME                  |
| DISPLACEMENT       | VECTOR                 | DURATION              |
+--------------------+------------------------+-----------------------+
| Loc - Loc = Disp   | Pt - Pt = Vec          | Time - Time = Dur     |
|                    | (3,5)-(10,2) = <-7,3>  | 7:30 - 1:15 = 6hr15m  |
+--------------------+------------------------+-----------------------+
| Loc + Disp = Loc   | Pt + Vec = Pt          | Time + Dur = Time     |
|                    | (10,2)+<-7,3> = (3,5)  | 3:15 + 2hr = 5:15     |
+--------------------+------------------------+-----------------------+
| Disp + Disp = Disp | Vec + Vec = Vec        | Dur + Dur = Dur       |
|                    | <8,-5>+<-7,3> = <1,-2> | 3hr + 5hr = 8hr       |
+--------------------+------------------------+-----------------------+

Answer 2

Los puntos y los vectores no son lo mismo. Dados dos puntos en el espacio 3D, podemos hacer un vector desde el primer punto hasta el segundo. Y, dados un vector y un punto, podemos empezar en el punto y "seguir" el vector para llegar a otro punto.

Sin embargo, hay un hecho agradable: los puntos en el espacio 3D (o $\mathbb{R}^n$ más generalmente) se encuentran en una correspondencia muy agradable con los vectores que parten del punto $(0,0,0)$ . Esencialmente, la idea es que podemos representar el vector con su punto final, y no se pierde ninguna información. Esto se llama a veces poner el vector en "posición estándar".

Para un curso como el de cálculo vectorial, es importante mantener una buena distinción entre puntos y vectores. Los puntos corresponden a vectores que empiezan en el origen, pero podemos necesitar vectores que empiecen en otros puntos.

Por ejemplo, dados tres puntos $A$ , $B$ y $C$ en el espacio 3D, podemos querer encontrar la ecuación del plano que los atraviesa, Si sólo conociéramos el vector normal $\vec n$ del plano, podríamos escribir la ecuación directamente como $\vec n \cdot (x,y,z) = \vec n \cdot A$ . Así que tenemos que encontrar esa normalidad $\vec n$ . Para ello, calculamos el producto cruzado de los vectores $\vec {AB}$ y $\vec{AC}$ . Si calculamos el producto cruzado de $A$ y $C$ en su lugar (pretendiendo que son vectores en posición estándar), no podríamos obtener el vector normal correcto.

Por ejemplo, si $A = (1,0,0)$ , $B = (0,1,0)$ y $C = (0,0,1)$ el vector normal del plano correspondiente no sería paralelo a ningún eje de coordenadas. Pero si tomamos dos de $A$ , $B$ y $C$ y calcular un producto cruzado, obtendremos un vector paralelo a uno de los ejes de coordenadas.

Answer 3

En espíritu son cosas diferentes. Pero la convención habitual es pensar que el vector en el plano o en el espacio tridimensional comienza en el origen. En ese caso, un vector se identifica precisamente por su punto final, lo que permite una identificación entre puntos y vectores.

Una forma de ver que son cosas diferentes (aunque se identifiquen en muchas circunstancias), es que se pueden sumar vectores, mientras que la suma de puntos no tiene sentido. Lo mismo ocurre con los productos punto y cruz.

Answer 4

¿Qué es exactamente a ¿Vector? Tienes razón en que solemos considerar un vector como algo que tiene una dirección y una magnitud, pero su definición más precisa y abstracta es que un vector en, por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ es sólo un elemento de ese conjunto. Por lo tanto, es lo mismo que un punto cuando se considera como un elemento de un conjunto.

Ahora bien, si se quiere hablar de productos cruzados y magnitudes, entonces se convierte en una cuestión de lingüística. La forma en que, por ejemplo, se define la magnitud como la función $$ \lvert\cdot\rvert: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $$ dado para $a = (a_1, a_2) \in \mathbb{R}^2$ por $$ \lvert a \rvert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}. $$ Así que si insiste en hablar de la magnitud de un punto, es "libre" de hacerlo (es decir, libre de definirlo). Pero tenga en cuenta que también causará confusión al hacerlo. Y al hacer matemáticas, queremos comunicarnos con claridad y así ...

Del mismo modo, se podría definir la suma o el producto cruzado de puntos.

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Tal vez sería mejor decir esto: ¿Es el espacio vectorial lo mismo que un conjunto? Sí, un espacio vectorial es un conjunto. Pero también es más que un conjunto. No podemos sumar elementos de un conjunto, pero podemos sumar elementos de un espacio vectorial porque con un espacio vectorial se obtiene la definición de una suma. Así que en este sentido, un punto y un vector son muy diferentes.

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Añadido : Si quieres encontrar la ecuación de un plano que contiene los tres puntos $a$ , $b$ y $c$ entonces no se restarían los puntos. Entonces, ¿cómo lo haces? Bien, si las coordenadas del punto $a$ son $(a_1, a_2, a_3)$ es decir, si $a = (a_1, a_2, a_3)$ (y lo mismo para $b$ y $c$ ) entonces primero se definen los vectores $$ \vec{ab} = (b_1 - a_1, b_2- a_2, b_3 - a_3) $$ y $$ \vec{ac} = (c_1 - a_1, c_2- a_2, c_3 - a_3). $$ Entonces un vector normal para/en el plano es el producto cruzado de los vectores: $\vec{ab}\times \vec{ac}$ .

Answer 5

Los vectores y los puntos son dos cosas diferentes y no deben confundirse. Ambos comparten ciertas similitudes, lo que hace que la transformación de uno en otro sea muy fácil, pero se utilizan de manera diferente, así como describen objetos matemáticos distintos.

Un punto es una ubicación en un sistema de coordenadas, es decir, una ubicación definida relativamente a un origen. Si se mueve el origen sin mover el punto, entonces las coordenadas del punto cambiarían .

Un vector es un objeto más general. No importa dónde se dibuje un vector $\vec{v}$ en un avión, sigue siendo lo mismo. Si se mueve el origen, los componentes del vector no cambiarían . También se puede pensar en un vector como una transformación. Puede aplicarse en cualquier lugar y tener el mismo efecto: desplazar un punto de cierta distancia en una dirección precisa.

La confusión entre el vector y el punto proviene del hecho de que un punto $P$ también puede representarse como un vector $\vec{OP}$ que es el vector que parte del origen $O$ yendo al grano $P$ . Sólo entonces el vector y el punto son algo equivalente. Un vector definido como $\vec{AB}$ con $A$ y $B$ puntos, no debe confundirse con algún punto $X$ tal que $\vec{AB} = \vec{OX}$ .

Puedes entender que aunque a veces es útil representar un punto como un vector, normalmente no debes representar un vector como un punto.