¿Cómo probar esta declaración sobre los polinomios?

Question

Considere la siguiente declaración:

Deje que $F$ ser un campo infinito y $g$ ser un polinomio no cero dado en $F[x_1,\ldots,x_r]$ . Si $f(x_1,\ldots,x_r)\in F[x_1,\ldots,x_r]$ y $f(a_1,\ldots,a_r) = 0$ para todos $a_i$ de tal manera que $g(a_1,\ldots,a_r) \neq 0$ Entonces $f$ es el polinomio cero.

Puedo ver, por ejemplo, por qué esto es cierto para $F = \mathbb R$ pero la forma en que lo veo es extremadamente inútil, lo veo a través de medios teóricos de medición. Me gustaría probar esto para cualquier campo y a través de medios puramente algebraicos. ¿Algún consejo sobre cómo hacer esto?

Answer 1

Pruebe/combine lo siguiente

1. Si $h(x_1,x_2,\ldots,x_r)$ no es el polinomio cero entonces existe $(a_1,a_2,\ldots,a_r)\in F^r$ de tal manera que $h(a_1,a_2,\ldots,a_r)\neq0$ (infinitud de $F$ es necesario para probar esto).
2. El anillo $F[x_1,x_2,\ldots,x_r]$ no tiene divisores de cero.
3. Aplicar el artículo 1 al producto $h=fg$ y luego...

Answer 2

Permítanme elaborar un poco más sobre algunas de las ideas implícitas en la muy astuta respuesta de Jyrki Lahtonen. En particular, daré un sentido concreto en el que el conjunto de desaparición de un polinomio es "pequeño", análogo a como el conjunto de desaparición de un polinomio sobre $\mathbb{R}$ tiene la medida cero (de hecho, este argumento puede utilizarse para probar ese hecho teórico de la medida).

Específicamente, definimos por inducción en $r$ lo que significa para un subconjunto $V\subseteq F^r$ para ser "pequeño". Para $r=0$ decimos $V\subseteq F^0$ es pequeño si está vacío. Por inducción, entonces decimos que $V\subseteq F^r$ es un pequeño iff para todos pero finamente muchos $a\in F$ , $\{b\in F^{r-1}:(b,a)\in V\}$ es un pequeño subconjunto de $F^{r-1}$ . Así que por ejemplo, un subconjunto de $F^1$ es pequeño si es finito, y un subconjunto de $F^2$ es pequeño si todas pero finamente muchas de sus fibras verticales son finitas.

Ahora afirmo que si $f\in F[x_1,\dots,x_r]$ es cualquier polinomio que no sea cero, entonces el conjunto $V=\{v\in F^r:f(v)=0\}$ es un pequeño subconjunto de $F^r$ . Lo probamos mediante la inducción en $r$ el caso $r=0$ es trivial. Suponiendo que $r>0$ Piensa en $f$ como un polinomio en $x_1,\dots,x_{r-1}$ con coeficientes en $F[x_r]$ . Desde $f\neq 0$ al menos uno de estos coeficientes en $F[x_r]$ es un no-cero. Por lo tanto, sólo hay finamente muchos valores que pueden ser sustituidos por $x_r$ que hacen que todos los coeficientes $0$ . Así que para todos, excepto para los finos $a\in F$ el polinomio $f_a(x_1,\dots,x_{r-1})=f(x_1,\dots,x_{r-1},a)$ es un no-cero. Por inducción, el conjunto $\{b\in F^{r-1}:(b,a)\in V\}=\{b\in F^{r-1}:f_a(b)=0\}$ es pequeño para todos pero finamente muchos $a$ . Así $V$ es pequeño.

Ahora finalmente note que la unión de dos pequeños conjuntos es pequeña (fácil por inducción en $r$ ) y que si $F$ es infinito, entonces $F^r$ no es pequeño como un subconjunto de sí mismo (de nuevo, fácil por inducción en $r$ ). Por lo tanto, si $f$ y $g$ son polinomios no cero, la unión de sus conjuntos que se desvanecen es pequeña y en particular no es toda $F^r$ . (Alternativamente, como en la otra respuesta, la unión de sus conjuntos de desaparición es el conjunto de desaparición de $fg$ y por lo tanto es pequeño.)

Este enfoque se generaliza para dar algunos resultados más fuertes que el enfoque simple y más algebraico de la respuesta de Jyrki Lahtonen. Por ejemplo, se podría sustituir "finito" por "contable" para obtener otra noción de "pequeño" que se cierra bajo uniones contables. Esto muestra entonces que si $F$ es incontable, ninguna unión contable de conjuntos de cero polinomios puede cubrir $F^r$ .