Que $a, b$ $c$ ser las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario. Seleccione las declaraciones verdaderas.

Question

Que $a, b$ $c$ ser las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario. Definir %#% $ #%
Seleccione las declaraciones verdaderas.
(a) $$x =\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}.$.
(b) $1/2 ≤ x ≤ 2$.
(c) $1/2 ≤ x ≤ 1$.

Cómo puedo resolver este problema

Answer 1

1. Descartamos primero (a) escribe $(a-b)^2\geq 0$, $(b-c)^2\geq 0$, $(c-a)^2\geq 0 $ y añadiendo al lado para obtener $2a^2+2b^2+2c^2\geq 2ab + 2bc+2ac$. Esto nos dice $\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\leq 1 $. Por lo tanto $x$ no puede ser mayor que 1. Por lo tanto (a) no es su respuesta.
2. Ahora descartamos (b) escribiendo: del coseno ley $a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2$, $b^2+c^2-2bc\cos\alpha=a^2$ y $c^2+a^2-2ca\cos\beta=b^2.$ agregar al lado da $a^2+b^2+c^2=2ab\cos\gamma+2bc\cos\alpha+2ac\cos\beta<2ab+2bc+2ac.$ esto implica $x=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}>\frac{1}{2}$. Observe que la última desigualdad sigue puesto que los ángulos de un triángulo suman $180^o$.

Answer 2

Sabemos que en cada triángulo $ABC$ hay algunas relaciones útiles, llamadas ley de los cosenos:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(A)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C)$$ By adding them we have: $$a^2+b^2+c^2=2(bc\cos(A)+ac\cos(B)+ab\cos(C))$$ and if we take $A=B=C=60^{~\text{o}}$ then $x=1$($ABC$ es un equilátero).

Ahora $A=90^{~\text{o}},B=45^{~\text{o}},C=45^{~\text{o}}$ y usando $b=a\sin(B), c=a\cos(B)$ tenemos: $$x=\frac{a^2\sin(B)+a^2\sin(B)\cos(B)+a^2\cos(B)}{a^2}\sim 0.9$% $# %x\leq1 de #%.

Answer 3

El triángulo de la desigualdad $$\Rightarrow\left | a-b \right |<c \Rightarrow \sum_{a,b,c}(a-b)^{2}<\sum_{a,b,c}c^{2}\Rightarrow 2\sum_{a,b,c}a^{2}-2\sum_{a,b,c}ab<\sum_{a,b,c}a^{2}\Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{\sum\limits_{a,b,c}ab}{\sum\limits_{a,b,c}a^{2}}=x$$ $x\in \mathbb{R}\Rightarrow x^{2}\geq 0$ $$\Rightarrow(a-b)^2\geq 0\Rightarrow \sum_{a,b,c}(a-b)^2\geq 0\Rightarrow 2\sum_{a,b,c}a^2-2\sum_{a,b,c}ab\geq 0\Rightarrow x=\frac{\sum\limits_{a,b,c}ab}{\sum\limits_{a,b,c}a^{2}}\leq 1$$ Respuesta:

El verdadero instrucciones son:

(a) $1/2 ≤ x ≤ 2$
(b) $1/2 ≤ x ≤ 1$
(c) $1/2 < x ≤ 1$

(c) $1/2 < x ≤ 1$ da los más estrechos límites, pero desde los otros dos intervalos son superseries de este intervalo de tiempo, (a) y (b) están también satisfechos. Para aclarar más:

$\forall\Delta ABC$, con lados a,b,c

$x =\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}\Rightarrow 1/2 < x ≤ 1\Rightarrow 1/2 ≤ x ≤ 1\Rightarrow 1/2 ≤ x ≤ 2$

También, $\forall x\in (\frac{1}{2},1],\exists \Delta ABC$ con lados de $ a,b,c \ni x =\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}$ ya que la condición (c) da la más ajustada de obligado.

Sin embargo, $\exists x\in[\frac{1}{2},1],\forall\Delta ABC$ con lados de $a,b,c ;\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}\not=x$ y, por tanto, $\exists x\in[\frac{1}{2},2],\forall\Delta ABC$ con lados de $a,b,c ; \frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}\not=x.$, con Lo que la implicación es una cara de condiciones (a) y (b).

$\therefore x=\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}\Leftrightarrow1/2 < x ≤ 1 $pero $1/2 ≤ x ≤ 1\vee1/2 ≤ x ≤ 2\not\Rightarrow \frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}=x $

Answer 4

debido a que la expresión es homogénea de grado $0$ asumimos $a+b+c=1$

el uso de $\sum$ a indicar simétrica sumas tenemos, (con $\sum a=1)$: $$\frac{\sum 2ab}{\sum a^2} = \frac {(\sum a)^2-\sum a^2}{\sum a^2} $$ así $$\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac12 \left(\frac1{a^2 + b^2 + c^2}-1\right) $$ esta expresión, si $a,b,c$ son los lados de un triángulo, tiene un valor máximo de $1$ cuando el triángulo es equilátero, y alcanzar un mínimo de $\frac12$ en el caso de degeneración, donde uno de los lados es igual a cero

añadido: pido disculpas, como veo Rhaldryn ya ha publicado un más exhaustivo de la respuesta usando la misma línea de argumento. Voy a dejar mi respuesta a esta pregunta debido a que la expresión es un poco diferente, y puede ser un complemento útil.