Si $a^3+b^3 = c^3+d^3$ y $a^2+b^2 = c^2 + d^2$ entonces $a + b = c + d$

Question

Hoy me he encontrado con este problema. Me interesaría saber si alguien conoce una prueba para ello:

Si $a^3+b^3 = c^3+d^3$ y $a^2+b^2 = c^2 + d^2$ demuestre que $a + b = c + d$ .

Answer 1

Si se permiten valores negativos de las variables, existen contraejemplos. El más sencillo es el siguiente:

$$a=2,\quad b=2,\quad c=\sqrt{3}-1-\sqrt{2\sqrt{3}}\doteq -1.129,\quad d=\sqrt{3}-1+\sqrt{2\sqrt{3}}\doteq2.593$$

con $a+b=4$ , $c+d\doteq1.464\ .$

A continuación supondremos $0\leq a\leq b$ y $0\leq c\leq d$ . Entonces la conjetura de icobes es cierta:

Desde $a^2+b^2=c^2+d^2=:r^2>0$ podemos escribir

$$a=r\sin\bigl({\pi\over4}-\alpha\bigr), \quad b=r\sin\bigl({\pi\over4}+\alpha\bigr), \quad c=r\sin\bigl({\pi\over4}-\beta\bigr), \quad d=r\sin\bigl({\pi\over4}+\beta\bigr)$$

para algunos $\alpha, \beta\in\ \bigl[0,{\pi\over4}\bigr]$ . De ello se deduce que $$a+b=\sqrt{2}r\cos\alpha,\quad c+d=\sqrt{2}r\cos\beta$$

y por lo tanto

$$2(a^3+b^3)=3(a+b)(a^2+b^2)-(a+b)^3=\sqrt{2}r^3(3\cos\alpha-2\cos^3\alpha)=:\sqrt{2}r^3 f(\alpha)\ ;$$

y de forma similar $2(c^3+d^3)=\sqrt{2}r^3f(\beta)$ .

Ahora $f'(t)=3\sin t\cos(2t)>0$ para $0<t<{\pi\over 4}$ de donde $f$ es estrictamente creciente en $\bigl[0,{\pi\over4}\bigr]$ . De ello se deduce que $a^3+b^3=c^3+d^3$ implica $\alpha=\beta$ y esto implica a su vez $a=c$ , $b=d$ .

Answer 2

Es falso.

Toma $(c,d)=(1,1)$ . Entonces $a^2 + b^2 = a^3 + b^3 = 2$ tiene soluciones reales con $(a+b) \neq 2$ .

Answer 3

La afirmación tiene una interpretación geométrica natural cuando $a, b, c, d \geq 0$ . Un círculo $x^2 + y^2 = r$ y una curva $x^3 + y^3 = s$ para $x, y > 0$ son simétricas respecto a la recta $x = y$ y si se cruzan, o bien se cruzan en un punto $(x,x)$ o dos puntos simétricos $(x,y)$ y $(y,x)$ para $x \neq y$ . Por lo tanto, si $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ y $a^3 + b^3 = c^3 + d^3$ para $a, b, c, d \geq 0$ entonces $(a,b) = (c,d)$ o $(a,b) = (d,c)$ . En cualquier caso, $a + b = c + d$ .

Por qué las curvas se cruzan como lo hacen: Si $p > q$ entonces $x^p + y^p = 1$ es "más gordo" que $x^q + y^q = 1$ por lo que las versiones a escala de estas curvas se intersecarán como en el caso anterior. Tal vez para demostrar esto podría requerir álgebra como en la respuesta de Sivaram, pero la imagen parece clara (para mí de todos modos).