A principios de la semana, mientras que la tutoría en el laboratorio de matemáticas, un estudiante vino a mí pidiendo ayuda en demostrar la siguiente declaración:
$$1994\mid 10^{900}-2^{1000}$$
Los números fueron demasiado grande para hacerlo a la fuerza bruta, $1994 = 2\cdot 997$ $997$ es un número primo, así que Ese poco es el teorema de poco de ayuda aquí.
Factoring $10^{900}-2^{1000} = 2^{900}(5^{450}+2^{50})(5^{225}+2^{25})(5^{225}-2^{25})$ reduce el problema a ver si $997$ divide cualquiera de los términos antes mencionados, pero que no parece ayudar mucho, ya sea como, de nuevo, los números involucrados son tan grandes.
Yo era capaz de hacer una reivindicación que si es cierto, podría conducir a una solución, pero no había manera de espera para ser verdad antes de tiempo, es decir, que $1994\mid 10^{9k}-2^{10k}$ por cada $k$. Como sucede, esta afirmación resultó ser cierto lo que produce el resultado deseado mediante el establecimiento $k=100$. Dándole la reclamación como una pista, fue capaz de continuar.
Como es necesaria que demuestre una mucho más fuerte declaración de la primera y de tomar una puñalada en la oscuridad, me preguntaba si esto era realmente la intención de la solución o si hay algo que me he perdido del que se obtiene el resultado un poco más fácilmente.
Existe una mejor alternativa en forma de demostrar esto?
Versión corta de mi prueba:
Deje $k=1$. A continuación, $10^{9}-2^{10} = 999998976=1994\cdot 501504$ por lo que el caso base se mantiene.
Asumir la demanda se mantiene para algunos $k\geq 1$. A continuación, para $k+1$ tenemos:
$10^{9(k+1)}-2^{10(k+1)} = 10^910^{9k}-2^{10}2^{10k} = (10^9+2^{10}-2^{10})10^{9k}-2^{10}2^{10k}$
$=2^{10}(10^{9k}-2^{10k})+(10^9-2^{10})10^{9k}$ que es la suma de los números divisibles por $1994$, lo que demuestra la demanda.
