La prueba de la clásica fórmula de Weitzenböck
$$ \Delta (|f|^2)=|{\rm Hess}f|^2+\langle\nabla f, \nabla (\Delta f) +{\rm Ric} (\nabla f, \nabla f) \rangle $$
utiliza el local ortonormales campo marco de $X_i$ alrededor de cualquier punto fijo $p\in M$ satisfacer $$ \langle X_i, X_j \rangle =\delta_{ij}, \ \ \nabla_{X_i}X_j(p)=0 $$ para simplificar el cálculo.
Mi pregunta es: ¿Qué si puedo empezar con la arbitrarias ortonormales fram decir $\{e_1, \cdots, e_n\}$. Mi cálculo muestra que para cualquier fija $\alpha=1,\cdots,n$, el siguiente se tiene: $$ \begin{align} {\rm Hess}(|\nabla f|^2)(e_{\alpha}, e_{\alpha})= &2|\nabla f|^2 {\rm sec}(\nabla f, e_{\alpha}) + 2\nabla f \langle \nabla_{e_{\alpha}}\nabla f, e_{\alpha}\rangle +2 \langle \nabla _{e_{\alpha}}\nabla f, \nabla_{e_{\alpha}}\nabla f\rangle \\ &- 4\langle \nabla_{e_{\alpha}}\nabla f, \nabla_{\nabla f}e_{\alpha}\rangle \end{align} $$ Donde el ${\rm sec}$ indica que la curvatura seccional spaned por $\nabla f$$e_{\alpha}$, .
La única diferencia entre el estándar de cálculo en el uso normal de fram y el mío es el plazo $$- 4\langle \nabla_{e_{\alpha}}\nabla f, \nabla_{\nabla f}e_{\alpha}\rangle $$ Así que después de resumir más de $1, \cdots , n$, debemos obtener la $0$. es decir, $$ \sum_{\alpha} - 4\langle \nabla_{e_{\alpha}}\nabla f, \nabla_{\nabla f}e_{\alpha}\rangle=0 $$ Pero esto no parece obvio para mí. ¿Me olvido de algo?
El clásico de cálculo se puede encontrar aquí: La Comparación de la Geometría de Curvatura de Ricci, por Shunhui Zhu, 221-262 http://library.msri.org/books/Book30/contents.html
